Studio di una conica: classificazione, forma canonica e caratteristiche

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Studio di una conica: classificazione, forma canonica e caratteristiche #96910

avt
GIULIOPT95
Punto
Vi propongo un esercizio sullo studio di una conica, sulla forma canonica e sulle caratteristiche della conica.

In E_2 consideriamo la conica \gamma di equazione

2x^{2}+6xy+10y^{2}+12x+40y+18=0

i. Classificare \gamma e scrivere una sua forma canonica.

ii. Determinare l'eventuale centro di simmetria e le equazioni cartesiane degli assi di simmetria di \gamma.

iii. Determinare le intersezioni di \gamma con gli assi cartesiani ed abbozzare un disegno della conica.

Se (x_0,y_0) è un punto di \gamma, quale segno può avere y_0?

In realtà in sede di esame sono riuscito a fare solamente la metà del primo punto (ovvero la classificazione della conica), e sono arrivato alla conclusione si trattasse di un ellisse.

Ho poi provato a portarla in forma canonica con una rototraslazione, sono riuscito a ruotarla, ma ho avuto poi qualche difficoltà a trovare il suo centro per procedere poi con la traslazione. Forse dovevo usare il metodo degli invariati.

Vi ringrazio in anticipo.
 
 

Re: Studio di una conica: classificazione, forma canonica e caratteristiche #96917

avt
Galois
Amministratore
Dobbiamo classificare e studiare la conica \gamma di equazione

\gamma: \ 2x^2+6xy+10y^2+12x+40y+18=0

Per classificare la conica scriviamo la matrice A dei coefficienti e la matrice B dei termini quadratici:

\\ A=\begin{pmatrix} 2&3&6 \\ 3&10&20 \\ 6&20&18 \end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2&3 \\ 3 & 10\end{pmatrix}

Calcolando il determinante delle due matrici, si ricava

\\ \mbox{det}(A)=-242 \\ \\ \mbox{det}(B)=11

dove per il calcolo del determinante di A conviene procedere con la regola di Sarrus.

Poiché il determinante di A è diverso da zero la conica è non degenere. Inoltre, essendo il determinante di B maggiore di zero, la conica è un'ellisse.

Dopo aver classificato la conica scriviamo una sua forma canonica. Poiché hai studiato il metodo degli invarianti, quando si affronta un esame scritto conviene ridurre la conica in forma canonica procedendo con questo metodo. Rispetto al metodo della rototraslazione si risparmia più della metà del tempo.

Calcoliamo gli autovalori della matrice B, i quali si ottengono risolvendo la seguente equazione

\mbox{det}(B-\lambda Id)=0

dove Id rappresenta la matrice identità di ordine 2.

(B-\lambda Id)= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 3 & 10\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-\lambda & 3 \\ 3 & 10-\lambda\end{pmatrix}

Quindi:

\mbox{det}(B-\lambda Id)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 3 \\ 3 & 10-\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2-12\lambda+11

Per trovare gli autovalori della matrice B dobbiamo risolvere la seguente equazione di secondo grado nell'incognita \lambda

\lambda^2-12\lambda+11=0

da cui si ottengono le soluzioni

\lambda_1=1, \ \ \lambda_2=11

Poiché la conica \gamma è un'ellisse, la sua equazione canonica sarà del tipo

\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + t = 0

con t che si ottiene imponendo

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2&0 \\ 0&0&t\end{pmatrix}

Sostituendo i valori noti otteniamo

-242=\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 11 &0 \\ 0&0&t\end{pmatrix} = 11 t

Siamo così ricaduti nell'equazione di primo grado

-242=11t

che ha come soluzione

t=-22

Sostituendo nell'equazione

\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + t = 0

otteniamo

x^2+11y^2-22=0

Portando il termine noto a secondo membro e dividendo tutti i termini per 22 otteniamo un'equazione in forma canonica di \gamma:

\frac{x^2}{22} + \frac{y^2}{2} = 1

La prima parte dell'esercizio è conclusa.

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Procediamo ora allo studio della conica \gamma.

Per determinare il suo centro di simmetria dobbiamo risolvere il sistema

\begin{cases}a_{11} x + a_{12} y + a_{13} =0 \\ a_{21} x + a_{22} y + a_{23} = 0\end{cases}

dove

a_{11}, \ a_{12}, \ a_{13}, \ a_{21}, \ a_{22}, \ a_{23} sono termini della matrice A.

\begin{cases}2x + 3 y + 6 =0 \\ 3 x + 10 y + 20 = 0\end{cases}

Scegliendo uno dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari si ottiene la soluzione

\begin{cases}x=0 \\ y=-2\end{cases}

Quindi il centro di simmetria di \gamma è il punto

C(0,-2)

Gli assi di simmetria sono le rette passanti per il centro ed aventi parametri direttori (l,m) che soddisfano l'equazione

a_{12}l^2 + (a_{22}-a_{11})lm -a_{12}m^2

ossia

3l^2+8lm-3m^2=0

Risolviamo rispetto all'incognita l trattando m come un parametro

l_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8m \pm \sqrt{64m^2+36m^2}}{6} = \frac{-8m \pm 10m}{6}

Da cui le soluzioni

l_1=-3m, \ l_2=\frac{1}{3}m

Assegniamo a m un valore a piacere (purché non nullo). Per semplicità supponiamo m=1. Allora i vettori direzione degli assi sono:

\\ v_1=(-3,1)=(l_1,m_1) \\ \\ v_2=\left(\frac{1}{3}, 1\right)

Nota: il vettore v_2 ha la stessa direzione del vettore v_2'=(1,3)=(l_2,m_2), infatti sono l'uno multiplo dell'altro. Per questioni di comodità, conviene lavorare con v_2' perché non presenta termini frazionari.

Abbiamo tutto quello che ci serve per scrivere l'equazione cartesiana dei due assi che, ricordiamo, sono rette passanti per il centro di simmetria C(0,-2) e aventi come direzione i due vettori appena trovati.

Primo asse

\\ \frac{x-x_C}{l_1} = \frac{y-y_C}{m_1} \\ \\ \\ \frac{x-0}{-3}=\frac{y+2}{1} \\ \\ \\ x+3y+6=0

Secondo asse

\\ \frac{x-x_C}{l_2} = \frac{y-y_C}{m_2} \\ \\ \\ \frac{x-0}{1}=\frac{y+2}{3} \\ \\ \\ 3x-y-2=0

E ciò conclude il secondo punto dell'esercizio.

-----------

Per trovare le intersezioni della conica \gamma con gli assi cartesiani dobbiamo risolvere i due sistemi lineari:

\\ \begin{cases}2x^2+6xy+10y^2+12x+40y+18=0 \\ x=0 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}2x^2+6xy+10y^2+12x+40y+18=0 \\ y=0 \end{cases}

Ossia

\\ \begin{cases}10y^2+40y+18=0 \\ x=0 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}2x^2+12x+18=0 \\ y=0 \end{cases}

Dal primo sistema si ottengono le soluzioni

\\ \left(0,\frac{-10-\sqrt{55}}{5}\right) \simeq (0,-3,5), \\ \\ \\ \left(0,\frac{-10+\sqrt{55}}{5}\right) \simeq (0,-0,5)

Dal secondo

(-3,0)

Abbiamo tutto quello che ci occorre per disegnare la conica:

studio equazione ellisse


Per concludere rispondiamo alla domanda che è stata posta: se \left(x_{0},y_{0}\right) è un punto di \gamma , quale segno può avere y_{0} ?

Poiché la conica giace nel semipiano negativo delle y e interseca l'asse delle ascisse, possiamo affermare che se \left(x_{0},y_{0}\right) è un punto di \gamma, allora y_0 \le 0.

È tutto!
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, GIULIOPT95

Re: Studio di una conica: classificazione, forma canonica e caratteristiche #97133

avt
GIULIOPT95
Punto
Esame superato! Alla discussione orale mi ha proprio chiesto la soluzione di questo esercizio e grazie a voi non ho avuto problemi.

Siete i migliori! emt
Ringraziano: Omega, Galois
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Os