Lato obliquo trapezio rettangolo circoscritto a una circonferenza

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Lato obliquo trapezio rettangolo circoscritto a una circonferenza #96805

avt
Leondrago
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere il seguente problema sul lato obliquo di un trapezio rettangolo circoscritto a una circonferenza? Frequento la terza media.

Un trapezio rettangolo avente l'area di 432\ \mbox{cm}^2 è circoscritto a una circonferenza lunga 18\ \pi \ \mbox{cm}. Calcola la lunghezza del lato obliquo del trapezio.
 
 

Lato obliquo trapezio rettangolo circoscritto a una circonferenza #96812

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Leondrago,

il problema chiede di determinare la lunghezza del lato obliquo di un trapezio rettangolo circoscritto a una circonferenza (nel caso servissero le formule: circonferenza e cerchio).

Il testo fornisce i seguenti dati:

A=432 \ \mbox{cm}^2 è l'area del trapezio, espressa in centimetri quadrati;

C=18 \pi \ \mbox{cm} è la lunghezza della circonferenza espressa in centimetri.

Per prima cosa rappresentiamo una circonferenza e di circoscriviamole un trapezio rettangolo, dopodiché indichiamo con \overline{AB} la base maggiore del trapezio, con \overline{BC} il lato obliquo, con \overline{CD} la base minore e infine con \overline{DA} l'altezza.

Iniziamo la risoluzione del problema con un'osservazione: l'altezza del trapezio \overline{DA} è congruente al diametro della circonferenza, dunque hanno la medesima lunghezza.

Grazie alle formule inverse, siamo in grado di determinare la lunghezza del diametro a partire da quella della circonferenza, è sufficiente infatti usare la formula

d=\frac{C}{\pi}=\frac{18 \pi \ \mbox{cm}}{\pi}=18\ \mbox{cm}

Tenendo a mente che diametro e altezza del trapezio sono congruenti, scriviamo:

\overline{DA}=18\ \mbox{cm}

Ora che disponiamo di questo dato, possiamo ricavare la somma delle basi del trapezio avvalendoci della formula inversa

\overline{AB}+\overline{CD}=\frac{2\cdot A}{\overline{DA}}=\frac{2\cdot 432 \ \mbox{cm}^2}{18 \ \mbox{cm}}=48\ \mbox{cm}

Il valore ottenuto è la chiave per risolvere il problema! Ci è utile per sfruttare la proprietà fondamentale sulla somma dei lati opposti dei quadrilateri circoscritti la quale garantisce che la somma dei lati opposti di un qualsiasi quadrilatero circoscritto a una circonferenza è uguale alla somma degli altri due lati.

Applicando questo importante risultato al nostro problema, possiamo scrivere l'uguaglianza

\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{BC}+\overline{DA}

Notiamo che al primo membro c'è la somma delle basi che conosciamo, mentre del secondo membro è nota la misura dell'altezza \overline{DA}, di conseguenza possiamo scrivere

48 \ \mbox{cm}=\overline{BC}+18 \ \mbox{cm}

Non ci resta che determinare la lunghezza del lato obliquo

\overline{BC}=48 \ \mbox{cm}-18 \ \mbox{cm}=30 \ \mbox{cm}

Il problema è risolto.
Ringraziano: Omega, Leondrago
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Os