Integrale di una forma differenziale su un segmento

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#96790
avt
BEST1
Punto
Vorrei capire come calcolare l'integrale della seguente forma differenziale su un segmento assegnato. Ecco la traccia:

Calcolare l'integrale della forma differenziale

ω = x^4y dx+xy dy

sul segmento di estremi A = (0,2), B = (1,1) percorso da A a B.
#96800
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao BEST1,

l'esercizio chiede di determinare l'integrale della forma differenziale

ω = x^4 y dx+x y dy

lungo il segmento di estremi A = (0,2) e B = (1,1), orientato da A a B.

Per farlo possiamo avvalerci della definizione di integrale di linea di seconda specie che riportiamo per completezza.

Data una curva espressa in forma parametrica γ(t) = (x(t),y(t)) dove t varia nell'intervallo [a,b].

Data inoltre la forma differenziale

ω = α(x,y)dx+β(x,y)dy

si definisce integrale della forma differenziale ω sulla curva γ il seguente integrale definito:

∫_(γ)ω dγ = ∫_(a)^(b)[α(x(t),y(t))·x'(t)+β(x(t),y(t))·y'(t)]dt

Nel caso in esame la forma differenziale è

ω = x^4 y dx+x y dy

le cui componenti sono

α(x,y) = x^4y e β(x,y) = x y

La curva su cui integrare è il segmento orientato dal punto A = (0,2) al punto B(1,1). Attenzione: la traccia non fornisce esplicitamente la parametrizzazione della curva, questo perché la parametrizzazione di un segmento deve essere nota.

Importante: ricordiamo che la parametrizzazione canonica di un segmento orientato da un punto A = (x_A, y_A) a un punto B = (x_B, y_B) si ottiene mediante la relazione

γ_(A → B)(t) = x(t) = x_(A)+(x_B-x_A)t ; y(t) = y_A+(y_B-y_A)t con t∈ [0,1]

per la quale l'intervallo di variazione di t è sempre [0,1]. Osserviamo che per t = 0 la parametrizzazione γ_(A → B)(t) restituisce

γ_(A → B)(0) = x(0) = x_A ; y(0) = y_A

vale a dire il punto di partenza A. Per t = 1 la parametrizzazione restituisce invece

γ_(A → B)(1) = x(1) = x_B ; y(1) = y_B

ossia il punto di arrivo B. Nel momento in cui t varia tra 0 e 1, la parametrizzazione restituisce tutti i punti che giacciono sul segmento di estremi A e B.

Rimpiazzando i valori dati dal problema ricaviamo la parametrizzazione di cui abbiamo bisogno

γ_(A → B)(t) = x(t) = t ; y(t) = 2-t con t∈[0,1]

Calcoliamo le derivate delle componenti di γ_(A → B)(t) che comporranno l'integrale della forma differenziale

x'(t) = 1 e y'(t) = -1

e valutiamo le funzioni α(x,y) e β(x,y) in x(t) = t e y(t) = 2-t ricavando

α(x(t),y(t)) = t^4(2-t) = 2t^4-t^5 ; β(x(t),y(t)) = t(2-t) = 2t-t^2

Ora disponiamo di tutti gli elementi per impostare l'integrale della forma differenziale

∫_(γ)ω dγ = ∫_(a)^(b)[α(x(t),y(t))·x'(t)+β(x(t),y(t))·y'(t)]dt = ∫_(0)^(1)[(2t^4-t^5)·1+(2t-t^2)·(-1)]dt =

Risolviamo l'integrale definito, non prima di aver semplificato il più possibile la funzione integranda

= ∫_(0)^(1)[-2t+t^2+2t^4-t^5]dt =

Utilizzando la formula relativa all'integrale di una potenza ricaviamo

= [-t^2+(t^3)/(3)+(2t^5)/(5)-(t^6)/(6)]_(0)^(1) = -1+(1)/(3)+(2)/(5)-(1)/(6) = -(13)/(30)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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