Ciao BEST1,
l'esercizio chiede di determinare l'integrale della
forma differenziale
lungo il
segmento di estremi

, orientato da

.
Per farlo possiamo avvalerci della definizione di
integrale di linea di seconda specie che riportiamo per completezza.
Data una curva espressa in forma parametrica

dove

varia nell'intervallo
![[a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIQASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dBYWFgQEBMzMzLa2tp6enubm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAhABIAAAScEAAxiLw466KuGYMUaqSmCIE2jmUrLYIqunTTyABLk8eC64BCwUA4uBgBAqFgmeUwAoMImCEEEhIEw8kyGEXSluOW9T3PAEQ4jW09zMjOeZS4ShSIY2ALsF5WdykSBTFmGgl5EgJkcxdaAAwHN1IJA3wXDy9fXBcLDUqVBVsKAWsvnwUZgDt9rI2sTTurNAuXNLMusbKKFa40HwMRADs=)
.
Data inoltre la forma differenziale
si definisce integrale della forma differenziale

sulla curva

il seguente integrale definito:
Nel caso in esame la forma differenziale è
le cui componenti sono
La curva su cui integrare è il segmento orientato dal punto

al punto

. Attenzione: la traccia non fornisce esplicitamente la parametrizzazione della curva, questo perché la
parametrizzazione di un segmento deve essere nota.
Importante: ricordiamo che la parametrizzazione canonica di un segmento orientato da un punto

a un punto

si ottiene mediante la relazione
per la quale l'intervallo di variazione di

è sempre
![[0,1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIgASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dJ6enhYWFra2tgQEBMzMzObm5lBQUAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAiABIAAASUEAAxiLw4a23GkN9FFEZxbBojJFkYAodwISwKLI0RnJh7CRZJx4bZtUCXQA2mICZ5F98tsLgkAgwnwNhDAq5VCVjLjXrHYioZ6g0tlJcDdn0EvMqEJr1r/xkuBS9EZW1xMhIIYQsDWRuEfZASIwQNUFd/GAwNAgEIDUtSWkFakIJEo1qhRAeNpKo2qKkSFLGkKB0DEQA7)
. Osserviamo che per

la parametrizzazione

restituisce
vale a dire il punto di partenza

. Per

la parametrizzazione restituisce invece
ossia il punto di arrivo

. Nel momento in cui

varia tra 0 e 1, la parametrizzazione restituisce tutti i punti che giacciono sul segmento di estremi

.
Rimpiazzando i valori dati dal problema ricaviamo la parametrizzazione di cui abbiamo bisogno
Calcoliamo le derivate delle componenti di

che comporranno l'integrale della forma differenziale
e valutiamo le funzioni

in

ricavando
Ora disponiamo di tutti gli elementi per impostare l'integrale della forma differenziale
Risolviamo l'
integrale definito, non prima di aver semplificato il più possibile la funzione integranda
Utilizzando la formula relativa all'
integrale di una potenza ricaviamo
Abbiamo finito.