Disequazione con serie geometrica

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#96733
avt
Obice
Punto
Vorrei capire come risolvere questa disequazione con una serie numerica e incognita data dall'indice finale della sommatoria.

Calcolare per quali valori di n∈N

Σ_(k = 0)^(n)((1)/(2))^k > (15)/(8)
#96737
avt
Omega
Amministratore
Ciao Obice,

per risolvere l'esercizio è sufficiente ricordare le principali proprietà della serie geometrica:

Σ_(k = 0)^(+∞)q^k

Se |q| < 1, ossia se la ragione q soddisfa la condizione -1 < q < 1, sappiamo che la serie geometrica converge e che vale

Σ_(k = 0)^(+∞)q^k = (1)/(1-q) (-1 < q < 1)

C'è un'ulteriore formula fondamentale che si dimostra facilmente e che è perfetta per il nostro esercizio: quella che permette di esprimere la somma parziale S_n in termini della ragione q e del valore finale dell'indice

S_n = Σ_(k = 0)^(n)q^k = (1-q^(n+1))/(1-q)

Ti faccio notare che in entrambe le formule l'indice di partenza deve essere zero; in caso contrario si possono facilmente riadattare per i propri scopi.

Noi vogliamo risolvere la disequazione

Σ_(k = 0)^(n)((1)/(2))^k > (15)/(8)

Usiamo la formula per le somme parziali

Σ_(k = 0)^(n)((1)/(2))^k = (1-((1)/(2))^(n+1))/(1-(1)/(2))

quindi riscriviamo la disequazione nella forma

(1-((1)/(2))^(n+1))/(1-(1)/(2)) > (15)/(8)

Semplici calcoli:

(1-((1)/(2))^(n+1))/((1)/(2)) > (15)/(8)

Moltiplichiamo entrambi i membri per (1)/(2)

1-((1)/(2))^(n+1) > (15)/(16) ;-((1)/(2))^(n+1) > (15)/(16)-1 ;-((1)/(2))^(n+1) > -(1)/(16)

Ci siamo ridotti a una banale disequazione esponenziale (con incognita naturale): moltiplichiamo entrambi i membri per -1

((1)/(2))^(n+1) < (1)/(16)

ed esprimiamo il secondo membro come potenza in base (1)/(2)

((1)/(2))^(n+1) < ((1)/(2))^4

Attenzione: poiché la base è minore di 1, nell'applicare il logaritmo in base (1)/(2) dobbiamo invertire il simbolo di disequazione

n+1 > 4

ossia n > 3.

Nulla ci vieta di verificare il risultato a mano, dato che abbiamo a che fare con un indice piccolo:

Σ_(k = 0)^(0)((1)/(2))^k = ((1)/(2))^0 = 1 ; Σ_(k = 0)^(1)((1)/(2))^k = 1+(1)/(2) = (3)/(2) ; Σ_(k = 0)^(2)((1)/(2))^k = 1+(1)/(2)+(1)/(4) = (7)/(4) ; Σ_(k = 0)^(3)((1)/(2))^k = 1+(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8) = (15)/(8) ; Σ_(k = 0)^(4)((1)/(2))^k = 1+(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+(1)/(16) = (15)/(8)+(1)/(16) > (15)/(8)

Ovviamente per n > 3 avremo somme parziali in cui per n+1 viene aggiunto un termine positivo rispetto a n.

A titolo di cronaca:

Σ_(k = 0)^(+∞)((1)/(2))^k = 2
Ringraziano: CarFaby, Obice
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