Disequazione con serie geometrica

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Disequazione con serie geometrica #96733

avt
Obice
Punto
Vorrei capire come risolvere questa disequazione con una serie numerica e incognita data dall'indice finale della sommatoria.

Calcolare per quali valori di n\in\mathbb{N}

\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k>\frac{15}{8}
 
 

Disequazione con serie geometrica #96737

avt
Omega
Amministratore
Ciao Obice,

per risolvere l'esercizio è sufficiente ricordare le principali proprietà della serie geometrica:

\sum_{k=0}^{+\infty}q^k

Se |q|<1, ossia se la ragione q soddisfa la condizione -1<q<1, sappiamo che la serie geometrica converge e che vale

\sum_{k=0}^{+\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\ \ \ (-1<q<1)

C'è un'ulteriore formula fondamentale che si dimostra facilmente e che è perfetta per il nostro esercizio: quella che permette di esprimere la somma parziale S_n in termini della ragione q e del valore finale dell'indice

S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ti faccio notare che in entrambe le formule l'indice di partenza deve essere zero; in caso contrario si possono facilmente riadattare per i propri scopi.

Noi vogliamo risolvere la disequazione

\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k>\frac{15}{8}

Usiamo la formula per le somme parziali

\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}

quindi riscriviamo la disequazione nella forma

\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}>\frac{15}{8}

Semplici calcoli:

\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}}>\frac{15}{8}

Moltiplichiamo entrambi i membri per \frac{1}{2}

1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}>\frac{15}{16}\\ \\ \\-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}>\frac{15}{16}-1\\ \\ \\-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}>-\frac{1}{16}

Ci siamo ridotti a una banale disequazione esponenziale (con incognita naturale): moltiplichiamo entrambi i membri per -1

\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}<\frac{1}{16}

ed esprimiamo il secondo membro come potenza in base \frac{1}{2}

\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}<\left(\frac{1}{2}\right)^4

Attenzione: poiché la base è minore di 1, nell'applicare il logaritmo in base \frac{1}{2} dobbiamo invertire il simbolo di disequazione

n+1>4

ossia n>3.

Nulla ci vieta di verificare il risultato a mano, dato che abbiamo a che fare con un indice piccolo:

\sum_{k=0}^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\left(\frac{1}{2}\right)^0=1\\ \\ \\ \sum_{k=0}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\ \\ \\ \sum_{k=0}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}\\ \\ \\ \sum_{k=0}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}\\ \\ \\ \sum_{k=0}^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{8}+\frac{1}{16}>\frac{15}{8}

Ovviamente per n>3 avremo somme parziali in cui per n+1 viene aggiunto un termine positivo rispetto a n.

A titolo di cronaca:

\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=2
Ringraziano: CarFaby, Obice
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