Massimi e minimi vincolati alla curva xy=1

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Massimi e minimi vincolati alla curva xy=1 #96710

avt
Obice
Punto
Vi propongo un problema sui massimi e minimi relativi di una funzione a due variabili vincolati a una curva, di cui riporto la traccia.

Determinare massimi e minimi relativi di f(x,y)=x\log(y) vincolati alla curva xy=1.
 
 

Re: Massimi e minimi vincolati alla curva xy=1 #96716

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Obice,

la traccia dell'esercizio chiede di determinare i massimi e minimi vincolati alla curva di equazione

x y=1

della funzione di due variabili

f(x,y)=x\log(y)

Per prima cosa, dobbiamo determinare il dominio della funzione di due variabili, dettato dalla condizione y>0, osserviamo infatti che il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero.

Il dominio della funzione è pertanto il sottoinsieme del piano cartesiano

Dom(f)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ y>0\right\}

Dal punto di vista geometrico Dom(f) coincide con il primo e secondo quadrante di \mathbb{R}^2.

Ora che conosciamo il dominio di f(x,y), analizziamo il vincolo (non è necessario per un ipotetico esame, ma è comunque utile riconoscere geometricamente le curve con cui abbiamo a che fare).

Il vincolo è dettato dalla condizione:

x y=1

che nel piano cartesiano individua un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, i cui fuochi giacciono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante.

L'analisi preliminare è completa, ora possiamo dedicarci alla risoluzione dell'esercizio vera e propria.

Dalla teoria sappiamo che i massimi e minimi vincolati si possono determinare costruendo la funzione lagrangiana definita come

L(x,y, \lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)

dove g(x,y) è il primo membro dell'equazione che definisce il vincolo espresso in forma implicita: in questo caso

g(x,y)=xy-1

Una volta costruita la lagrangiana esiste una procedura ben precisa da seguire. Per come è costruito l'esercizio, ossia per come si presenta la funzione e il vincolo, sarebbe opportuno bypassare questa strategia perché richiede un numero considerevole di calcoli.

Procediamo invece in questo modo: esplicitiamo dall'equazione del vincolo una delle due variabili, ad esempio y

x y=1 \ \to \ y=\frac{1}{x} \ \ \ \mbox{con} \ x\ne 0

dopodiché rimpiazziamo y=\frac{1}{x} in f(x,y) ricavando così una funzione nella sola variabile x che chiamiamo F(x). Di questa funzione calcoleremo i massimi e minimi con le derivate. Perché facciamo tutto ciò? La risposta risiede nel fatto che le funzioni f(x,y)\ \mbox{e} \ F(x) condividono le ascisse dei punti di massimo e/o di minimo!

Intanto esplicitiamo l'espressione della funzione F(x):

F(x)=f\left(x,\frac{1}{x}\right)=x\log\left(\frac{1}{x}\right)=

Grazie alla proprietà del logaritmo di un quoziente, F(x) si può esprimere nella forma equivalente come

=x(\log(1)-\log(x))=-x\log(x)

L'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che il logaritmo di 1 è 0.

In definitiva

F(x)=-x\log(x)

Calcoliamo la derivata prima di F(x) avvalendoci della regola sulla derivata di un prodotto in combinazione con le derivate fondamentali

\\ F'(x)=\frac{d}{dx}\left[-x\log(x)\right]=\frac{d}{dx}[-x]\log(x)+(-x)\frac{d}{dx}[\log(x)]= \\ \\ \\ = -\log(x)-x\cdot\frac{1}{x}=-\log(x)-1

Non ci resta che studiare il segno della derivata prima cosi da determinare la monotonia della funzione.

Consideriamo quindi la disequazione

F'(x)\ge 0

che nel caso in esame si traduce nella disequazione logaritmica

-1-\log(x)\ge 0 \ \to \log(x)\le -1

Essa è equivalente al sistema

\begin{cases}x>0 \\ \\ x\le e^{-1}\end{cases}

che è soddisfatto dai valori

0<x\le e^{-1}

I passaggi algebrici mettono in chiaro che la derivata prima di F(x) è:

- positiva nell'intervallo (0,e^{-1});

- nulla per x=e^{-1};

- negativa nell'intervallo (e^{-1},+\infty).

In accordo con la teoria sullo studio dei massimi e minimi con le derivate, ricaviamo che F(x) è

- strettamente crescente nell'intervallo (0,e^{-1});

- strettamente decrescente nell'intervallo (e^{-1},+\infty),

di conseguenza x=e^{-1} è un punto di massimo assoluto per F(x).

È chiaro che le informazioni ottenute valgono per la funzione ausiliaria F(x), ora dobbiamo fare un ulteriore (e per fortuna piccolo) sforzo e ricavare i risultati relativi alla funzione di due variabili.

Dal vincolo avevamo ottenuto la relazione che lega y a x, vale a dire

y=\frac{1}{x}

e, per x=e^{-1}, il valore di y è:

y=\frac{1}{e^{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{e}}=e

Il punto \left(e^{-1},e\right) rappresenta il punto di massimo assoluto per la funzione f(x,y) e il massimo associato M si determina mediante una semplice valutazione:

M=f(e^{-1},e)=e^{-1}\log(e)=e^{-1}

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Obice
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Os