Massimi e minimi vincolati alla curva xy=1

Vi propongo un problema sui massimi e minimi relativi di una funzione a due variabili vincolati a una curva, di cui riporto la traccia.

Determinare massimi e minimi relativi di vincolati alla curva .

Ciao Obice,

la traccia dell'esercizio chiede di determinare i massimi e minimi vincolati alla curva di equazione



della funzione di due variabili



Per prima cosa, dobbiamo determinare il dominio della funzione di due variabili, dettato dalla condizione , osserviamo infatti che il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero.

Il dominio della funzione è pertanto il sottoinsieme del piano cartesiano



Dal punto di vista geometrico coincide con il primo e secondo quadrante di .

Ora che conosciamo il dominio di , analizziamo il vincolo (non è necessario per un ipotetico esame, ma è comunque utile riconoscere geometricamente le curve con cui abbiamo a che fare).

Il vincolo è dettato dalla condizione:



che nel piano cartesiano individua un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, i cui fuochi giacciono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante.

L'analisi preliminare è completa, ora possiamo dedicarci alla risoluzione dell'esercizio vera e propria.

Dalla teoria sappiamo che i massimi e minimi vincolati si possono determinare costruendo la funzione lagrangiana definita come



dove è il primo membro dell'equazione che definisce il vincolo espresso in forma implicita: in questo caso



Una volta costruita la lagrangiana esiste una procedura ben precisa da seguire. Per come è costruito l'esercizio, ossia per come si presenta la funzione e il vincolo, sarebbe opportuno bypassare questa strategia perché richiede un numero considerevole di calcoli.

Procediamo invece in questo modo: esplicitiamo dall'equazione del vincolo una delle due variabili, ad esempio



dopodiché rimpiazziamo in ricavando così una funzione nella sola variabile che chiamiamo . Di questa funzione calcoleremo i massimi e minimi con le derivate. Perché facciamo tutto ciò? La risposta risiede nel fatto che le funzioni condividono le ascisse dei punti di massimo e/o di minimo!

Intanto esplicitiamo l'espressione della funzione :



Grazie alla proprietà del logaritmo di un quoziente, si può esprimere nella forma equivalente come



L'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che il logaritmo di 1 è 0.

In definitiva



Calcoliamo la derivata prima di avvalendoci della regola sulla derivata di un prodotto in combinazione con le derivate fondamentali



Non ci resta che studiare il segno della derivata prima cosi da determinare la monotonia della funzione.

Consideriamo quindi la disequazione



che nel caso in esame si traduce nella disequazione logaritmica



Essa è equivalente al sistema



che è soddisfatto dai valori



I passaggi algebrici mettono in chiaro che la derivata prima di è:

- positiva nell'intervallo ;

- nulla per ;

- negativa nell'intervallo .

In accordo con la teoria sullo studio dei massimi e minimi con le derivate, ricaviamo che è

- strettamente crescente nell'intervallo ;

- strettamente decrescente nell'intervallo ,

di conseguenza è un punto di massimo assoluto per .

È chiaro che le informazioni ottenute valgono per la funzione ausiliaria , ora dobbiamo fare un ulteriore (e per fortuna piccolo) sforzo e ricavare i risultati relativi alla funzione di due variabili.

Dal vincolo avevamo ottenuto la relazione che lega a , vale a dire



e, per , il valore di è:



Il punto rappresenta il punto di massimo assoluto per la funzione e il massimo associato si determina mediante una semplice valutazione:



L'esercizio è concluso.