Studiare il comportamento di una serie con parametro

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Studiare il comportamento di una serie con parametro #96709

avt
Obice
Punto
Sono bloccato con un esercizio sullo studio di una serie con parametro, non so come gestirlo. C'è una linea guida da seguire per questa tipologia?

Stabilire il comportamento della serie al variare di p∈R

Σ_(n = 0)^(+∞)(log(p^2+1))^n
 
 

Re: Studiare il comportamento di una serie con parametro #96714

avt
Omega
Amministratore
In generale questa tipologia di esercizi può essere affrontata in due modi:

- il metodo generale e universale è quello che prevede di ricondursi allo studio delle serie di potenze e talvolta alle serie di funzioni; è richiesto normalmente solo a chi è alle prese con Analisi 2;

- a chi è alle prese con Analisi 1, e dunque ha esclusiva dimestichezza con le serie numeriche, vengono proposte versioni edulcorate degli esercizi che possono essere risolte riconducendosi alle serie notevoli.

Il caso considerato può essere affrontato indifferentemente con l'uno o con l'altro metodo. Procederò con il secondo: se, come credo, stai studiando Analisi 2, allora inquadrare il discorso nel contesto delle serie di potenze sarà una passeggiata per te. emt

Σ_(n = 0)^(+∞)(log(p^2+1))^n

dove p∈R. Poiché l'argomento del logaritmo è dato dalla somma tra un quadrato e una quantità positiva, è certamente positivo e non dobbiamo imporre alcuna condizione su p.

Non è difficile notare che la serie assomiglia parecchio alla ben nota serie geometrica

Σ_(n = 0)^(+∞)x^n

che converge per |x| < 1. Se poniamo

x = log(p^2+1)

Concludiamo che la serie di partenza converge per

|log(p^2+1)| < 1

Tale disequazione in valore assoluto può essere riscritta come una doppia disequazione

|log(p^2+1)| < 1

e, a sua volta, come un sistema di disequazioni

log(p^2+1) > -1 ; log(p^2+1) < 1

Poiché

p^2+1 ≥ 1 ∀ p∈R

ne consegue che

log(p^2+1) ≥ log(1) = 0

e la prima disequazione è banale:

∀ p ; log(p^2+1) < 1

Il sistema si riduce alla seconda disequazione:

log(p^2+1) < 1 ; p^2+1 < e ; p^2 < e-1

Anche la disequazione di secondo grado risultante è piuttosto semplice

-√(e-1) < p < √(e-1)

e abbiamo finito: abbiamo individuato l'insieme di valori per cui la serie assegnata converge.


PS: se la serie fosse stata della forma

Σ_(n = 0)^(+∞)a_n(log(p^2+1))^n

con a_n coefficienti reali per ogni n, allora avremmo dovuto affrontare l'esercizio con la teoria delle serie di potenze.
Ringraziano: CarFaby, Obice
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Os