Stabilire se un insieme è un intervallo

Ho delle difficoltà nello stabilire se un dato insieme è o non è un intervallo. Mi riferisco al seguente



Sul sito ho letto, al paragrafo "Insiemi costituiti da un numero finito di numeri reali" della lezione su insiemi reali e intervalli, che



[...] un insieme di N elementi può essere espresso come unione di N insiemi sostituiti da un unico elemento, ne consegue [...] come unione di un numero finito di intervalli.

Perché non posso applicare lo stesso criterio anche nel caso del mio esempio?

Grazie e saluti.

Ciao xxautod,

rispondiamo prima di tutto al quesito di partenza: dobbiamo stabilire se l'insieme



è effettivamente un intervallo oppure no.

Procediamo per passi, fornendo innanzitutto una definizione intuitiva di intervallo.

Gli intervalli sono particolari sottoinsiemi di (insieme dei numeri reali) caratterizzati dalla seguente proprietà: comunque si fissino due valori dell'intervallo , tutti i numeri reali tra loro compresi appartengono all'intervallo.

In termini meno fiscali, stiamo asserendo che un intervallo non vuoto deve necessariamente essere privo di buchi.

Dal punto di vista geometrico, un intervallo, diverso dall'insieme vuoto, può essere rappresentato mediante:

- un punto (in questo caso parliamo di singoletti, o singleton);

- un segmento se l'intervallo è limitato;

- una semiretta se l'intervallo è illimitato superiormente oppure inferiormente ma non da entrambi i lati;

- una retta se l'intervallo coincide con .

Facciamo qualche esempio così da chiarire la questione (nulla di difficile).

L'insieme



è un intervallo di estremi e tutti i valori compresi tra essi appartengono a . Se decidessimo di rappresentare otterremo un segmento.

L'insieme



è l'unione di due intervalli, ma non è a sua volta un intervallo perché non vi appartiene: nell'insieme è quindi presente un buco. Se rappresentassimo otterremmo l'unione di due segmenti disgiunti.

Chiarito ciò, possiamo dedicarci al problema. L'insieme è formato da tutti i numeri reali del tipo



dove varia nell'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.

Calcoliamo alcuni termini che appartengono ad , sostituendo a i numeri 1, 2, 3...

Per ricaviamo il numero reale



per otteniamo invece



per ricaviamo il numero



e così via. La forma estensiva dell'insieme è di conseguenza



Esso è formato da infiniti termini ma attenzione, non rappresenta affatto un intervallo perché, a titolo di esempio, mancano tutti i numeri compresi tra 1 e 2.

In realtà l'insieme è formato da punti isolati, e sebbene sia possibile esprimerlo come unione numerabile di punti (dunque di intervalli degeneri) come



esso non è un intervallo. Aggiungiamoci pure che dal punto di vista notazionale la scrittura



è poco fruibile e raramente si trova su un libro di Matematica. L'unione numerabile di punti distinti, inoltre, non può mai generare un intervallo giacché le potenze dei due insiemi sono differenti: un intervallo non degenere è equipotente a , mentre l'insieme ha la potenza del numerabile.

In conclusione è un sottoinsieme di numeri reali, ma non è un intervallo.

Quindi, riferendomi a quanto spiegato nella lezione, l'unione finita di intervalli non fornisce un unico intervallo ma l'unione di un numero finito di intervalli, o sbaglio qualcosa?

Esatto, in generale l'unione finita (o numerabile) di intervalli non è necessariamente un intervallo.

Ti invito a leggere la lezione cui fai riferimento, in particolare il punto D) Insiemi costituiti da un numero infinito di elementi oltre al paragrafo intitolato Unione di intervalli.