Stabilire se un insieme è un intervallo

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Stabilire se un insieme è un intervallo #96697

avt
xxautod
Punto
Ho delle difficoltà nello stabilire se un dato insieme è o non è un intervallo. Mi riferisco al seguente

 A= \left \{ x \in \mathbb{R}\ : \ x=\frac{2}{n},n \in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}\right \}

Sul sito ho letto, al paragrafo "Insiemi costituiti da un numero finito di numeri reali" della lezione su insiemi reali e intervalli, che

\left \{1,\frac{1}{2},\sqrt{2}\right\}

[...] un insieme di N elementi può essere espresso come unione di N insiemi sostituiti da un unico elemento, ne consegue [...] come unione di un numero finito di intervalli.

Perché non posso applicare lo stesso criterio anche nel caso del mio esempio?

Grazie e saluti.
 
 

Stabilire se un insieme è un intervallo #96700

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod,

rispondiamo prima di tutto al quesito di partenza: dobbiamo stabilire se l'insieme

A=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x=\frac{2}{n}, \ n\in\mathbb{N}-\{0\}\right\}

è effettivamente un intervallo oppure no.

Procediamo per passi, fornendo innanzitutto una definizione intuitiva di intervallo.

Gli intervalli sono particolari sottoinsiemi di \mathbb{R} (insieme dei numeri reali) caratterizzati dalla seguente proprietà: comunque si fissino due valori dell'intervallo I, \ x_1, \ x_2, tutti i numeri reali tra loro compresi appartengono all'intervallo.

In termini meno fiscali, stiamo asserendo che un intervallo non vuoto deve necessariamente essere privo di buchi.

Dal punto di vista geometrico, un intervallo, diverso dall'insieme vuoto, può essere rappresentato mediante:

- un punto (in questo caso parliamo di singoletti, o singleton);

- un segmento se l'intervallo è limitato;

- una semiretta se l'intervallo è illimitato superiormente oppure inferiormente ma non da entrambi i lati;

- una retta se l'intervallo coincide con \mathbb{R}.

Facciamo qualche esempio così da chiarire la questione (nulla di difficile).

L'insieme

I=[0,1]=\{x\in\mathbb{R} \ : \ 0\le x\le 1\}

è un intervallo di estremi x_1=0, \ x_2=1 e tutti i valori compresi tra essi appartengono a I. Se decidessimo di rappresentare I otterremo un segmento.

L'insieme

I'=(0,1)\ \cup \ (1,3)

è l'unione di due intervalli, ma non è a sua volta un intervallo perché x=1 non vi appartiene: nell'insieme è quindi presente un buco. Se rappresentassimo I' otterremmo l'unione di due segmenti disgiunti.

Chiarito ciò, possiamo dedicarci al problema. L'insieme A è formato da tutti i numeri reali del tipo

x=\frac{2}{n}

dove n varia nell'insieme dei numeri naturali escluso lo zero.

Calcoliamo alcuni termini che appartengono ad A, sostituendo a n i numeri 1, 2, 3...

Per n=1 ricaviamo il numero reale

x=\frac{2}{1}=2

per n=2 otteniamo invece

x=\frac{2}{2}=1

per n=3 ricaviamo il numero

x=\frac{2}{3}

e così via. La forma estensiva dell'insieme A è di conseguenza

A=\left\{2,\ 1, \ \frac{2}{3}, \ ... \ \right\}

Esso è formato da infiniti termini ma attenzione, non rappresenta affatto un intervallo perché, a titolo di esempio, mancano tutti i numeri compresi tra 1 e 2.

In realtà l'insieme A è formato da punti isolati, e sebbene sia possibile esprimerlo come unione numerabile di punti (dunque di intervalli degeneri) come

A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}\left\{\frac{2}{n}\right\}

esso non è un intervallo. Aggiungiamoci pure che dal punto di vista notazionale la scrittura

A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}\left\{\frac{2}{n}\right\}

è poco fruibile e raramente si trova su un libro di Matematica. L'unione numerabile di punti distinti, inoltre, non può mai generare un intervallo giacché le potenze dei due insiemi sono differenti: un intervallo non degenere è equipotente a \mathbb{R}, mentre l'insieme A ha la potenza del numerabile.

In conclusione A è un sottoinsieme di numeri reali, ma non è un intervallo.
Ringraziano: Omega, CarFaby, xxautod

Stabilire se un insieme è un intervallo #96701

avt
xxautod
Punto
Quindi, riferendomi a quanto spiegato nella lezione, l'unione finita di intervalli non fornisce un unico intervallo ma l'unione di un numero finito di intervalli, o sbaglio qualcosa?

Stabilire se un insieme è un intervallo #96702

avt
Ifrit
Amministratore
Esatto, in generale l'unione finita (o numerabile) di intervalli non è necessariamente un intervallo. emt

Ti invito a leggere la lezione cui fai riferimento, in particolare il punto D) Insiemi costituiti da un numero infinito di elementi oltre al paragrafo intitolato Unione di intervalli.
  • Pagina:
  • 1
Os