Esercizio sui radicali e su frazione con termini primi tra loro

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Esercizio sui radicali e su frazione con termini primi tra loro #96609

avt
Alocin1997
Punto
Vi scrivo per un esercizio sui radicali in cui devo trovare i termini della frazione all'esponente in modo che siano primi tra loro e che sia soddisfatta un'uguaglianza.

Sia a>0 un numero reale positivo. Determinare la frazione \frac{m}{n} con m\ \mbox{e}\ n appartenenti a \mathbb{Z} primi tra loro e n>0, tale che

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{a^3}}\right)^{5}
 
 

Esercizio sui radicali e su frazione con termini primi tra loro #96613

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare la frazione \frac{m}{n} che realizza l'uguaglianza

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{a^3}}\right)^{5}

ma attenzione a, \ m \ \mbox{e} \ n devono sottostare alle seguenti condizioni:

a è un numero reale positivo;

m è un numero intero;

n è un numero intero positivo e inoltre m\ \mbox{e} \ n sono numeri primi tra loro o, detto in maniera esplicita, il loro massimo comune divisore dev'essere 1.

Dopo aver elencato le caratteristiche dei termini coinvolti nell'uguaglianza

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{a^3}}\right)^{5}

che possiamo rivedere come un'equazione esponenziale nella base a.

La strategia che conduce più velocemente possibile alla soluzione consta di alcuni passaggi algebrici nei quali useremo le proprietà delle potenze che consentono di passare ad un'equazione i cui membri sono entrambi esponenziali nella base a.

La definizione di potenza con esponente fratto garantisce l'identità

\left(\frac{1}{\sqrt{a^3}}\right)^5=\left(\frac{1}{(a^3)^{\frac{1}{2}}}\right)^5=\left(\frac{1}{a^{\frac{3}{2}}}\right)^5=

Nell'ultimo passaggio abbiamo usufruito della potenza di una potenza. In virtù della definizione di potenza con esponente negativo possiamo infine esprimere il risultato nella forma più comoda

=(a^{-\frac{3}{2}})^{5}=

Ancora una volta interviene la proprietà relativa alla potenza di una potenza, grazie alla quale possiamo esprimere (a^{-\frac{3}{2}})^{5} come

=a^{-\frac{15}{2}}

I passaggi algebrici effettuati consentono di esprimere l'uguaglianza iniziale come

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{3}}a^{-\frac{15}{2}}

Abbiamo quasi raggiunto quello che volevamo, basta applicare infatti la proprietà sul prodotto di due potenze con la stessa base per ricavare l'uguaglianza

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{1}{3}-\frac{15}{2}}

Una volta sommate le frazioni all'esponente, otteniamo

a^{\frac{m}{n}}=a^{-\frac{43}{6}}

Ricordiamo ora che due esponenziali aventi la stessa base, diversa da 1, sono uguali se e solo se gli esponenti coincidono, ossia se sussiste l'equazione fratta

\frac{m}{n}=-\frac{43}{6}

Per ipotesi n è certamente un numero positivo, dunque sicuramente diverso da zero e questa informazione ci autorizza a moltiplicare i due membri per n, ottenendo

m=-\frac{43}{6} n

Affinché m sia un numero intero, dobbiamo richiedere che n sia un multiplo di 6: se così non fosse la frazione -\frac{43}{6}n (e dunque m) sarebbe necessariamente un numero razionale.

Osserviamo che se n=6 allora

m=-\frac{43}{6}\cdot 6=-43

ricavando così una coppia di numeri interi e coprimi tra loro.

Se n è un multiplo di 6, diverso da 6, anche m sarebbe un intero ma verrebbe meno la condizione di coprimalità.

In definitiva l'unica frazione che soddisfa le condizioni dettate dalla traccia è

\frac{m}{n}=-\frac{43}{6}

ottenuta per m=-43 \ \mbox{e per} \ n=6.

Approfondimento

Se vogliamo esprimere il procedimento in maniera formale, effettuiamo il seguente ragionamento logico.

Poiché n>0 è un multiplo di 6, diverso da 6, esiste un numero intero k>1 tale che n=6k, di conseguenza

m=-\frac{43}{6}\cdot n \ \to \ m=-\frac{43}{6}\cdot 6k=-43k

Chiaramente sia n=6k che m=-43k sono numeri interi, il cui massimo comune divisore è

MCD(m,n)=MCD(-43k, 6k)=k

che è maggiore di 1: viene quindi meno la coprimalità tra m\ \mbox{e} \ n.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os