Fascio di rette che stacca una corda su una circonferenza

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Fascio di rette che stacca una corda su una circonferenza #96563

avt
fioruccigreta
Punto
Ho un quesito su un fascio di rette che stacca una corda di una certa lunghezza su una circonferenza.

Nel fascio di rette di equazione y=-2x+k, determina le rette sulle quali la circonferenza di equazione

x^2+y^2-x+y-2=0

stacca delle corde di misura \sqrt{5}.
Ringraziano: angela.petralia
 
 

Re: Fascio di rette che stacca una corda su una circonferenza #96566

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo determinare dal fascio di rette

y=-2x+k

le equazioni delle rette su cui la circonferenza

x^2+y^2-x+y-2=0

stacca delle corde di lunghezza \sqrt{5}.

Esistono due strade percorribili che conducono alla soluzione: una completamente algebrica che però sconsigliamo vivamente in questo caso giacché comporta una mole enorme di calcoli e di tempo. L'altra consiste consiste nell'usare un approccio geometrico.

Dall'equazione

x^2+y^2-x+y-2=0

ricaviamo il centro della circonferenza mediante la formula

C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

dove a=-1 \ \mbox{e} \ b=1 sono i coefficienti di x\ \mbox{e} \ y.

Possiamo infine ricavare il raggio della circonferenza avvalendoci della relazione

R=\sqrt{x_{C}^2+y_{C}^2-c}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2-(-2)}=\sqrt{\frac{5}{2}}

dove x_{C}\ \mbox{e} \ y_{C} rappresentano rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del centro C mentre c=-2 è il termine noto dell'equazione della circonferenza.

Chiamiamo A \ \mbox{e} \ B i punti di intersezione tra il fascio di rette e la circonferenza: essi sono, in altri termini, gli estremi della corda di cui l'esercizio fornisce la lunghezza, pertanto

AB=\sqrt{5}

Sia M il punto medio del segmento AB e consideriamo il triangolo rettangolo di vertici CAM, retto in M. Di tale triangolo conosciamo la lunghezza di due lati su tre, in particolare:

- la misura dell'ipotenusa AC coincide con quella del raggio della circonferenza

AC=\sqrt{\frac{5}{2}}

- il cateto AM è lungo esattamente la metà di AB (segue dalla definizione di punto medio), dunque

AM=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}

Grazie al teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del cateto CM mediante la relazione

CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}=

Sfruttiamo le proprietà delle potenze per poter agevolare i calcoli

=\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}

Nota: per poter semplificare il risultato abbiamo fatto ricorso alle proprietà dei radicali.

Dal punto di vista geometrico CM rappresenta la distanza della retta dal centro della circonferenza, ed è questa l'informazione che ci serviva per risolvere il problema.

Mediante la formula della distanza di un punto da una retta ricaviamo che il fascio di rette dista dal centro

\\ dist(r, C)=\frac{|2x_{C}+y_C-k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|1-\frac{1}{2}-k\right|}{\sqrt{5}}= \\ \\ \\ =\frac{|1-2k|}{2\sqrt{5}}

Ribadiamo che l'espressione ottenuta indica la distanza del fascio dal centro, al variare del parametro reale k.

Per quanto scritto in precedenza, tale distanza deve coincidere la lunghezza di CM, ossia deve sussistere l'uguaglianza

dist(r, C)=CM

che si traduce nell'equazione con valore assoluto nell'incognita k

\frac{|1-2k|}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}

Moltiplichiamo i due membri per 2\sqrt{5}, in questo modo ci sbarazziamo dei denominatori ricavando così l'equazione equivalente

|1-2k|=5 \ \to \ 1-2k=-5\ \vee \ 1-2k=5

Risolvendo le due equazioni di primo grado otteniamo due valori di k:

k=-2 a cui associamo l'equazione

y=-2x-2

k=3 a cui associamo la retta di equazione

y=-2x+3

L'esercizio è completo.
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