Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne

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Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96534

avt
ikar
Punto
Non ho ben capito l'argomento sistemi di generatori e basi di un sottospazio. Un esercizio tipo che avrò nella prova d'esame è il seguente.

Dati i vettori

v_1=(0,1,0,-1),\ v_2=(1,0,0,-1),\ v_3=(-1,1,0,0)

e detto V il sottospazio di \mathbb{R}^4 da essi generato, si dica se v_1,v_2,v_3 sono una base di V e si determini la dimensione di V.

Indicata con A la matrice formata con i tre vettori disposti in riga, si dica se il sottospazio di \mathbb{R}^3 generato dalle colonne di A coincide oppure no con \mathbb{R}^3 indicando una base di questo sottospazio.

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Re: Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96537

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ikar,

ci sono diversi errori concettuali nella tua proposta di svolgimento, dunque ti suggerisco di fare tabula rasa e di leggere la mia risposta senza preconcetti (ossia senza tentare di piegare le tue attuali idee in merito alle definizioni e ai metodi che ti descriverò).

L'esercizio assegna un insieme di vettori \{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^4

v_1=(0,1,0,-1),\ v_2=(1,0,0,-1),\ v_3=(-1,1,0,0)

e ci chiede di considerare il sottospazio vettoriale V\subseteq\mathbb{R}^4 generato da tali vettori:

V\ =\ <\{v_1,v_2,v_3\}>

dunque \{v_1,v_2,v_3\} è per ipotesi un sistema di generatori di V.

Per stabilire se \{v_1,v_2,v_3\} è anche una base del sottospazio V dobbiamo stabilire se è soddisfatta la seconda proprietà richiesta dalla definizione di base: deve essere un sistema di generatori linearmente indipendenti.

Ci sono diversi modi per controllare se i vettori di un insieme sono linearmente indipendenti: il primo tra questi prevede di passare dalla definizione stessa.

\{v_1,v_2,v_3\} sono linearmente indipendenti se, dati \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}, risulta che

\lambda_1(0,1,0,-1)+\lambda_2(1,0,0,-1)+\lambda_3(-1,1,0,0)=(0,0,0,0)

se e solo se l'unica soluzione che soddisfa la condizione è

\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0

Nota che la tripla nulla è sempre soluzione del precedente sistema; i vettori v_1,v_2,v_3 sono linearmente indipendenti per definizione se l'unica soluzione è data dalla tripla nulla.

Scriviamo il corrispondente sistema lineare

\begin{cases}\lambda_2-\lambda_3=0\\ \lambda_1+\lambda_3=0\\ 0=0\\ -\lambda_1-\lambda_2=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}\lambda_2=\lambda_3\\ \lambda_1=-\lambda_3\\ 0=0\\ \lambda_1=-\lambda_2\end{cases}

In definitiva si vede che qualunque tripla (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) che soddisfi le condizioni

\lambda_1=-\lambda_2\ \wedge\ \lambda_2=\lambda_3

è soluzione del sistema, come ad esempio

(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(1,-1,-1)

e, poiché la soluzione nulla non è l'unica soluzione del sistema, si conclude che i vettori \{v_1,v_2,v_3\} non sono linearmente indipendenti e dunque non costituiscono una base di V.

Un modo equivalente (e più efficace) di procedere prevede di considerare la matrice avente i vettori disposti per colonne

M=\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]

e calcolarne il rango, che per definizione è il massimo numero di colonne (o equivalentemente di righe) linearmente indipendenti della matrice.

In questo caso il rango è palesemente 2, perché sappiamo già che i tre vettori colonna sono linearmente dipendenti tra loro e d'altronde è facile vedere che i primi due vettori colonna sono linearmente indipendenti tra loro.

Ne consegue che \{v_1,v_2\} è una base di V e quindi la dimensione del sottospazio vettoriale V è

dim(V)=2

Avendo ragionato in questo modo, la seconda parte dell'esercizio è immediata:

A=\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]

Poiché A non è nient'altro che la trasposta di M, e poiché sappiamo che il rango per righe coincide sempre con il rango per colonne, segue automaticamente che

rk(A)=2

Il sottospazio generato dalle colonne di A ha dunque dimensione 2

dim\left(<\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \\ -1\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}-1 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right]>\right)=2

e per questo motivo non può coincidere con \mathbb{R}^3.

Una sua base è data dai primi due vettori colonna, che sono ovviamente linearmente indipendenti: non è possibile infatti esprimere uno dei due vettori come multiplo scalare del'altro.
Ringraziano: CarFaby

Re: Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96547

avt
ikar
Punto
Sei stato molto chiaro anche se devo riguardarmi l'esercizio con più calma emt

Ma quindi porre:

 \lambda_1(...)+\lambda_2(...)+\lambda_3(...)=(a,b,c,d)

non serve a nulla?

Re: Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96552

avt
Omega
Amministratore
Esatto: per la verifica della dipendenza/indipendenza lineare non serve a nulla. Fa fede la definizione. emt

Re: Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96561

avt
ikar
Punto
Quindi è sufficiente scegliere a caso un numero di colonne pari alla dimensione del sottospazio, in questo caso 2 colonne, purché siano linearmente indipendenti?
Anche seconda e quarta giusto?

Grazie infinite

Re: Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne #96564

avt
Omega
Amministratore
Esatto: dopo aver stabilito che la dimensione del sottospazio generato dalle colonne (dalle righe) è 2, puoi scegliere due colonne qualsiasi (righe qualsiasi) con la condizione che siano linearmente indipendenti.

Sì, anche seconda e quarta vanno bene. emt
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Os