Esercizio su basi e sottospazi generati dalle colonne

Non ho ben capito l'argomento sistemi di generatori e basi di un sottospazio. Un esercizio tipo che avrò nella prova d'esame è il seguente.

Dati i vettori



e detto il sottospazio di da essi generato, si dica se sono una base di e si determini la dimensione di .

Indicata con la matrice formata con i tre vettori disposti in riga, si dica se il sottospazio di generato dalle colonne di coincide oppure no con indicando una base di questo sottospazio.

Ciao Ikar,

ci sono diversi errori concettuali nella tua proposta di svolgimento, dunque ti suggerisco di fare tabula rasa e di leggere la mia risposta senza preconcetti (ossia senza tentare di piegare le tue attuali idee in merito alle definizioni e ai metodi che ti descriverò).

L'esercizio assegna un insieme di vettori



e ci chiede di considerare il sottospazio vettoriale generato da tali vettori:



dunque è per ipotesi un sistema di generatori di .

Per stabilire se è anche una base del sottospazio dobbiamo stabilire se è soddisfatta la seconda proprietà richiesta dalla definizione di base: deve essere un sistema di generatori linearmente indipendenti.

Ci sono diversi modi per controllare se i vettori di un insieme sono linearmente indipendenti: il primo tra questi prevede di passare dalla definizione stessa.

sono linearmente indipendenti se, dati , risulta che



se e solo se l'unica soluzione che soddisfa la condizione è



Nota che la tripla nulla è sempre soluzione del precedente sistema; i vettori sono linearmente indipendenti per definizione se l'unica soluzione è data dalla tripla nulla.

Scriviamo il corrispondente sistema lineare



da cui



In definitiva si vede che qualunque tripla che soddisfi le condizioni



è soluzione del sistema, come ad esempio



e, poiché la soluzione nulla non è l'unica soluzione del sistema, si conclude che i vettori non sono linearmente indipendenti e dunque non costituiscono una base di .

Un modo equivalente (e più efficace) di procedere prevede di considerare la matrice avente i vettori disposti per colonne



e calcolarne il rango, che per definizione è il massimo numero di colonne (o equivalentemente di righe) linearmente indipendenti della matrice.

In questo caso il rango è palesemente 2, perché sappiamo già che i tre vettori colonna sono linearmente dipendenti tra loro e d'altronde è facile vedere che i primi due vettori colonna sono linearmente indipendenti tra loro.

Ne consegue che è una base di e quindi la dimensione del sottospazio vettoriale è



Avendo ragionato in questo modo, la seconda parte dell'esercizio è immediata:



Poiché non è nient'altro che la trasposta di , e poiché sappiamo che il rango per righe coincide sempre con il rango per colonne, segue automaticamente che



Il sottospazio generato dalle colonne di ha dunque dimensione 2



e per questo motivo non può coincidere con .

Una sua base è data dai primi due vettori colonna, che sono ovviamente linearmente indipendenti: non è possibile infatti esprimere uno dei due vettori come multiplo scalare del'altro.

Sei stato molto chiaro anche se devo riguardarmi l'esercizio con più calma

Ma quindi porre:



non serve a nulla?

Esatto: per la verifica della dipendenza/indipendenza lineare non serve a nulla. Fa fede la definizione.

Quindi è sufficiente scegliere a caso un numero di colonne pari alla dimensione del sottospazio, in questo caso 2 colonne, purché siano linearmente indipendenti?
Anche seconda e quarta giusto?

Grazie infinite

Esatto: dopo aver stabilito che la dimensione del sottospazio generato dalle colonne (dalle righe) è 2, puoi scegliere due colonne qualsiasi (righe qualsiasi) con la condizione che siano linearmente indipendenti.

Sì, anche seconda e quarta vanno bene.