Limite con fattoriale logaritmo e arcoseno

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Limite con fattoriale logaritmo e arcoseno #96491

avt
xxautod
Punto
Sto tentando di calcolare il limite di una successione con fattoriale, logaritmo e arcoseno:

\lim_{n \to +\infty} \frac{3n! \log e^{\left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}+2n^2+(n!)^{-n}}{n^2-2n!\arcsin \left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}

Grazie e saluti
 
 

Re: Limite con fattoriale logaritmo e arcoseno #96495

avt
Omega
Amministratore
Il metodo più semplice per calcolare il limite della successione proposta

\lim_{n \to +\infty} \frac{3n! \log e^{\left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}+2n^2+(n!)^{-n}}{n^2-2n!\arcsin \left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}

prevede di analizzare le gerarchie tra infiniti di successioni e di ridursi a una successioni asintoticamente equivalenti a quella assegnata.

Prima di tutto usiamo la definizione di logaritmo per riscrivere il limite nella forma

\lim_{n \to +\infty} \frac{3n! \cdot \frac{1+n^2}{1-n^2}+2n^2+(n!)^{-n}}{n^2-2n!\arcsin \left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}

Applichiamo inoltre la definizione di potenza con esponente negativo

\lim_{n \to +\infty} \frac{3n! \cdot \frac{1+n^2}{1-n^2}+2n^2+\frac{1}{(n!)^n}}{n^2-2n!\arcsin \left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}

A questo punto osserviamo che, per n\to +\infty

\frac{1+n^2}{1-n^2}\to_{n\to +\infty}-1

quindi, per quel che concerne l'arcoseno

\arcsin\left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)\to_{n\to +\infty}\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}

Ragioniamo sui singoli termini presenti a numeratore e denominatore nell'ottica delle gerarchie degli infiniti di successioni:

- a numeratore il terzo addendo genera un infinitesimo; il primo addendo è un infinito dello stesso ordine di 3n!, che è di gran lunga superiore rispetto all'infinito di 2n^2;

- a denominatore vale un ragionamento analogo. Il secondo addendo è un infinito dello stesso ordine di 2\left(-\frac{\pi}{2}\right)n!, che è di gran lunga superiore rispetto all'infinito generato da n^2.

In sintesi, se raccogliamo un fattoriale n! sia a numeratore che a denominatore

\lim_{n \to +\infty} \frac{n!\left(3\cdot\overbrace{\frac{1+n^2}{1-n^2}}^{\to -1}+\overbrace{\frac{2n^2}{n!}}^{\to 0}+\overbrace{\frac{1}{(n!)^n\cdot n!}}^{\to 0}\right)}{n!\left(\overbrace{\frac{n^2}{n!}}^{\to 0}-2\overbrace{\arcsin \left(\frac{1+n^2}{1-n^2}\right)}^{\to -\frac{\pi}{2}}\right)}

Cancellando gli infinitesimi e semplificando i fattoriali si conclude che il limite è pari a -\frac{3}{\pi}.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, xxautod

Re: Limite con fattoriale logaritmo e arcoseno #96496

avt
xxautod
Punto
Questo è un metodo semplice e veloce; per chiarire, sarebbe possibile passare per i limiti notevoli o proprio non si può?

Re: Limite con fattoriale logaritmo e arcoseno #96497

avt
Omega
Amministratore
A occhio direi di no... E poiché

1) a occhio non sembra possibile;

2) esiste un metodo più facile e veloce;

porsi la domanda è lecito ma non deve superare il livello della mera curiosità. emt
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Os