Intersezione delle immagini di due applicazioni lineari con parametro

Vi chiedo aiuto per un esercizio sulla dimensione dell'intersezione di due sottospazi vettoriali, dati dalle immagini di due applicazioni lineari di cui una definita mediante un parametro.

Sia l'unica applicazione lineare tale che



Sia l'unica applicazione lineare tale che



1) Stabilire per quali valori di le immagini delle due applicazioni lineari coincidono:



2) Calcolare la dimensione di al variare di

Partiamo dal primo punto della traccia: dobbiamo innanzitutto determinare la dimensione e una base per ciascuna delle immagini delle applicazioni lineari considerate.

Consideriamo le immagini dei vettori della base canonica mediante . Esse costituiranno certamente un sistema di generatori per l'immagine di , per cui dobbiamo studiarne l'indipendenza lineare.

Disponiamole per colonna in una matrice



Il rango della matrice è per definizione il massimo numero di vettori colonna (o equivalentemente di vettori riga) linearmente indipendenti tra loro.

Senza alcun bisogno di calcolare il determinante della matrice, già a occhio si vede che la terza colonna può essere espressa come combinazione lineare delle prime due:



D'altro canto le prime due colonne sono linearmente indipendenti tra di loro, per cui il rango della matrice è 2



e una base dell'immagine dell'applicazione lineare è data da



Passiamo allo studio dell'immagine dell'applicazione lineare .

Qui osserviamo che i vettori preimmagine costituiscono una base di e che i vettori immagine sono linearmente indipendenti tra loro per ogni



Per vederlo è sufficiente ricorrere al criterio dei minori considerando il minore di ordine 2 costituito dalle ultime due righe e calcolandone il determinante



Ergo



e una base dell'immagine di è data da



Per stabilire per quali valori del parametro reale le due immagini coincidono ci basta individuare i valori del parametro per cui i sottospazi generati dai vettori delle rispettive basi coincidono:



Nella pratica dobbiamo capire per quali valori del parametro i vettori della base di sono generati dai vettori della base di . Dobbiamo cioè risolvere i sistemi lineari



che riscriviamo nella forma



Entrambi i sistemi possono essere risolti velocemente per sostituzione



Il primo sistema ammette soluzione per qualsiasi valore di , dunque il primo vettore della base di è sempre contenuto in .
Il secondo vettore della base di appartiene a se e solo se




2) Per calcolare la dimensione dell'intersezione dei due spazi vettoriali



Conviene usare la formula di Grassmann



L'unico ingrediente che ci manca è la dimensione dello spazio somma, che per definizione è generato dall'unione delle basi dei due spazi addendi:



Attenzione: quello che abbiamo appena scritto è un sistema di generatori dello spazio somma e non una sua base!

La richiesta si riduce così allo studio del rango della matrice parametrica avente per colonne i generatori di



e possiamo ricorrere a diversi metodi, il più semplice dei quali è indubbiamente dato dall'eliminazione gaussiana.

Sostituiamo la seconda riga e la terza riga nel modo seguente



ottenendo



e infine sostituiamo





L'analisi dei pivot ci porta dritti alla conclusione:

- se , ossia se , allora la matrice ha rango 2, dunque



e quindi



- Se , ossia se , allora la matrice ha rango 3, per cui



e quindi

Grazie mille Omega!

Volevo chiederti anzitutto se nel calcolo della dimensione dell'intersezione per s'intende .

Inoltre, per quale motivo gli elementi della base di devono appartenere allo spazio generato dalla base di ?

Inoltre vorrei togliermi una curiosità: due applicazioni lineari, per avere la medesima immagine, devono necessariamente avere in comune almeno un elemento della base delle immagini? Come in questo esercizio in cui il vettore è in realtà un multiplo del vettore

Riguardo alla prima domanda, sì: si trattava semplicemente di un typo

Rispondo alla seconda, alla terza e alla quarta domanda in un colpo solo.

Più che alle immagini possiamo fare riferimento a due generici sottospazi vettoriali , dopodiché possiamo applicare il discorso al nostro caso specifico considerando



Date due basi



per provare che è necessario e sufficiente dimostrare che gli elementi di appartengono a :



Nota che abbiamo implicitamente supposto che poiché le due basi hanno la medesima cardinalità.

Questo metodo è valido in forza di due semplici osservazioni, o più precisamente dei seguenti lemmi.

LEMMA 1

Se un vettore appartiene al sottospazio vettoriale generato da



allora qualsiasi combinazione lineare formata e dagli elementi di appartiene al sottospazio generato da




LEMMA 2

Dato il sistema di generatori , allora aggiungendo a esso una qualsiasi combinazione lineare dei suoi elementi si ottiene un altro sistema di generatori che genera il medesimo sottospazio




Entrambi i lemmi discendono immediatamente dalla definizione di sistema di generatori.

Tenendo bene a mente la definizione di base come insieme di generatori linearmente indipendenti, nel nostro caso se dimostriamo che è combinazione lineare di , ossia che



allora segue che



Facendo lo stesso per ogni segue che



ossia



D'altra parte le dimensioni dei due sottospazi vettoriali coincidono



quindi segue necessariamente

.

NOTA A MARGINE

A costo di essere pedante, ho voluto mostrarti ogni singolo passaggio del ragionamento, anche se sarebbe bastato rispondere: segue dalla definizione di base come sistema di generatori linearmente indipendenti.

In base a quanto appena scritto dovrebbe essere chiaro che:


la domanda è mal posta. È necessario e sufficiente le immagini abbiano la medesima dimensione e che una base dell'immagine della prima applicazione lineare sia contenuta nell'immagine della seconda applicazione lineare.

GENERALIZZAZIONE

Date due basi di due sottospazi vettoriali



per provare che è necessario e sufficiente dimostrare che gli elementi di appartengono a :



Se tale condizione è soddisfatta, allora:

- se risulta che ;

- se risulta che .

Ho capito tutto benissimo! Grazie mille Omega!