Limite fratto con Taylor: arcotangente, coseno e logaritmo

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Limite fratto con Taylor: arcotangente, coseno e logaritmo #96369

avt
davide abb
Punto
Sono alle prese con il calcolo di un limite fratto con Taylor in cui compaiono un'arcotangente, i logaritmi e un coseno.

È preso da una traccia di esame:

\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x+1}{x^2+1}\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\frac{x+2}{2x+1}\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)}{\cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}\right)\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)}

Ringrazio in anticipo!
 
 

Re: Limite fratto con Taylor: arcotangente, coseno e logaritmo #96382

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Davide Abb

Il nostro intento consiste nel calcolare il limite

\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x+1}{x^2+1}\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\frac{x+2}{2x+1}\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)}{\cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}\right)\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)}

Dall'analisi preliminare ricaviamo che il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo sciogliere sfruttando gli sviluppi di Taylor. Procediamo dunque in questo modo: a ciascuna funzione assoceremo lo sviluppo per x\to 1, sfruttando sia la definizione di sviluppo, sia gli sviluppi notevoli.

Per quanto concerne l'ordine di sviluppo, dobbiamo procedere per tentativi, così da determinare quello perfetto. Sviluppiamo le singole funzioni che compongono quella presente nel limite iniziando dalla funzione razionale fratta

f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}

In quest'occasione non possiamo avvalerci degli sviluppi notevoli, ma dobbiamo procedere con la formula di Taylor centrata nel punto x_0=1, ossia

f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 +o((x-1)^2)

dove f'(1) \ \mbox{e} \ f''(1) indicano rispettivamente la derivata prima e la derivata seconda di f(x) valutate nel punto x_0=1, mentre o((x-1)^2) rappresenta l'o-piccolo di (x-1)^2 per x\to 1.

Calcoliamo la derivata prima di f(x) mediante la regola di derivazione del rapporto

\\ f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[x+1](x^2+1)-(x+1)\frac{d}{dx}[x^2+1]}{(x^2+1)^2}= \\ \\ \\ =\frac{x^2+1-(x+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2}

Valutiamo la derivata prima nel punto x_0=1

f'(1)=-\frac{1}{2}

Calcoliamo la derivata seconda applicando nuovamente la regola di derivazione del quoziente sull'espressione della derivata prima

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2}\right]=\\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[1-2x-x^2](1+x^2)^2-(1-2x-x^2)\frac{d}{dx}[(1+x^2)^2]}{(1+x^2)^4}=

Portiamo a termine il calcolo delle derivate rimaste

\\ =\frac{(-2-2x)(1+x^2)^2-(1-2x-x^2)\cdot 2 (1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2)^4}

Osserviamo che non è necessario portare a termine il calcolo, è sufficiente valutare l'espressione in x_0=1 e ottenere:

f''(1)=0

In definitiva lo sviluppo di Taylor associato alla funzione f(x) nel centro x_0=1 è

f(x)=1-\frac{1}{2}(x-1)+o((x-1)^2)

Dedichiamoci al calcolo dello sviluppo della funzione arcotangente

g(x)=\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)

osservando che in x_0=1 l'argomento dell'arcotangente si annulla pertanto siamo autorizzati all'uso dello sviluppo notevole associato all'arcotangente centrato in t_0=0.

Più precisamente, calcoleremo lo sviluppo in x_0=1 dell'argomento dell'arcotangente

h(x)=\frac{x-1}{x+1}

dopodiché lo comporremo con lo sviluppo associato all'arcotangente in t_0=0

Procediamo con i calcoli, determinando lo sviluppo centrato in x_0=1 della funzione razionale

h(x)=\frac{x-1}{x+1}

avvalendoci della formula di Taylor

h(x)=h(1)+h'(1)(x-1)+\frac{h''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)

Anche in questo caso h'(1) \ \mbox{e} \ h''(1) individuano la derivata prima e seconda valutate nel punto x_0=1.

In accordo con le regole di derivazione sul calcolo delle derivate ricaviamo l'espressione della derivata prima di h(x)

\\ h'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[x-1](x+1)-(x+1)\frac{d}{dx}[x+1]}{(x+1)^2}=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}= \\ \\ \\ =\frac{2}{(1+x)^2}

che valutata per x_0=1 vale

h'(1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Calcoliamo la derivata seconda di h(x), derivando l'espressione di h'(x)

h''(x)=\frac{d}{dx}[h'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{(1+x)^2}\right]=-\frac{4}{(1+x)^3}

e valutiamola nel punto x_0=1 così da ottenere

h''(1)=-\frac{4}{(1+1)^3}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}

In definitiva possiamo concludere che lo sviluppo centrato in x_0=1 associato alla funzione fratta h(x) è

\\ h(x)=0+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{4}(x-1)^2+o((x-1)^2)=\\ \\ \\ = \frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{4}(x-1)^2+o((x-1)^2)

Per quanto concerne lo sviluppo dell'arcotangente, centrato in t_0=0, è da considerarsi notevole

\arctan(t)=t+o(t^2)

Per ottenere lo sviluppo di g(x)=\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right) è sufficiente comporre tra loro i due sviluppi, rimpiazzando ad ogni occorrenza di t nello sviluppo dell'arcotangente l'intero sviluppo della funzione h(x):

\\ g(x)=\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)= \\ \\ \\ =\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)+o\left(\left(\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)\right)^2\right)

In base alle proprietà degli o-piccolo, poiché per x\to 1 sussiste la relazione asintotica

\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)\sim_{x\to 1}\frac{x-1}{2}

possiamo semplificare l'o piccolo come

o\left(\left(\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)\right)^2\right)=o((x-1)^2)

In definitiva possiamo concludere che lo sviluppo di g(x) è

g(x)=\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)

Teniamolo da parte.

Calcoliamo lo sviluppo di Taylor centrato in x_0=1 della funzione razionale fratta

k(x)=\frac{x+2}{2x+1}

procedendo sempre allo stesso modo: utilizziamo la formula

k(x)=k(1)+k'(1)(x-1)+\frac{k''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)

dove k'(1) \ \mbox{e} \ k''(1) sono rispettivamente la derivata prima e secondo di k(x) valutate nel centro.

Il calcolo delle derivate avviene in maniera analoga alle precedenti, bisogna applicare le giuste regole di derivazione. Procedendo con cautela otteniamo

k'(x)=-\frac{3}{(1+2x)^2}

che valutata in x_0=1 restituisce il valore

k'(1)=-\frac{1}{3}

La derivata seconda di k(x) vale invece

k''(x)=\frac{12}{(1+2x)^3}

e valutata nel centro restituisce

k''(1)=\frac{12}{3^3}=\frac{4}{9}

In accordo con la formula di Taylor, possiamo asserire che lo sviluppo di k(x) è

k(x)=1-\frac{x-1}{3}+\frac{2(x-1)^2}{9}+o((x-1)^2)

Perfetto, ora dobbiamo dedicare la nostra attenzione allo sviluppo della funzione composta

a(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)

Osserviamo che se x\to 1 l'argomento del logaritmo tende a 0, dunque possiamo pensare di procedere come per il caso dell'arcotangente: sviluppiamo l'argomento del logaritmo nel centro x_0=1 dopodiché ci avvarremo dello sviluppo notevole associato alla funzione logaritmo.

Siamo fortunati perché la funzione all'interno dell'argomento coincide con f(x) dunque possiamo riciclare lo sviluppo

f(x)=1-\frac{1}{2}(x-1)+o((x-1)^2)

Per quanto concerne lo sviluppo del logaritmo al secondo ordine centrato in t_0=0 esso è noto

\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

di conseguenza possiamo ottenere lo sviluppo della funzione composta a(x)=\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right) rimpiazzando ad ogni occorrenza di t dello sviluppo del logaritmo con lo sviluppo di f(x)-1

\\ \ln(f(x))=\ln(1+f(x)-1)= \\ \\ \\ =(f(x)-1)-\frac{(f(x)-1)^2}{2}+o((f(x)-1)^2)

ossia

\\ \ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)= \\ \\ \\ =-\frac{1}{2}(x-1)+o((x-1)^2)-\frac{\left(-\frac{1}{2}(x-1)+o((x-1)^2)\right)^2}{2}+ \\ \\ \\ +o\left(\left(-\frac{1}{2}(x-1)+o((x-1)^2)\right)^2\right)=

In virtù delle proprietà degli o piccolo e svolgendo un po' di calcoli algebrici, lo sviluppo si semplifica in

=-\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+o((x-1)^2)

Abbiamo a disposizione i termini che consentono di scrivere lo sviluppo di Taylor associato al numeratore

\\ N(x)=\frac{x+1}{x^2+1}\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\frac{x+2}{2x+1}\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)= \\ \\ \\ =\left(1-\frac{x-1}{2}+o((x-1)^2)\right)\cdot\left(\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{4}+o((x-1)^2)\right)+\\ \\ \\ +\left(1-\frac{x-1}{3}+\frac{2(x-1)^2}{9}+o((x-1)^2)\right)\left(-\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+o((x-1)^2)\right)=

A questo punto è sufficiente svolgere meticolosamente i calcoli, trascurando tutte le potenze di (x-1) con esponenti maggiori di 2, le quali vengono inglobate nell'o-piccolo

=-\frac{11}{24}(x-1)^2+o((x-1)^2)

Ora occupiamoci del denominatore partendo dal fattore con la funzione coseno, ossia

D_1(x)=\cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}\right)=

Osserviamo che quando x\to 1 l'argomento del coseno tende a \frac{\pi}{2}, possiamo pensar bene di applicare un barbatrucco che ci semplificherà notevolmente nei calcoli. Non è un trucco standard, ma una furbizia che ci permette di esprimere il coseno in termini del seno e utilizzare lo sviluppo notevole di quest'ultimo.

Sommiamo e sottraiamo \frac{\pi}{2} all'interno dell'argomento così da ottenere

=\cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=(\bullet)

In virtù delle formule sugli archi associati

\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(\alpha) \ \ \ \forall \alpha\in\mathbb{R}

la funzione si esprime nella forma equivalente

(\bullet)=-\sin\left(\frac{\pi(x-1)}{2(x+3)}\right)

In questo modo mettiamo in chiaro che l'argomento del seno tende a zero quando x\to 1, dunque possiamo

- sviluppare l'argomento del seno con centro in x_0=1;

- utilizzare lo sviluppo notevole del seno;

- comporre i due sviluppi.

Per quanto concerne lo sviluppo dell'argomento

G(x)=\frac{\pi(x-1)}{2(x+3)}

siamo costretti a ricorrere alla formula

G(x)=G(1)+G'(1)(x-1)+\frac{G''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)

dove G'(1)\ \mbox{e} \ G''(1) sono rispettivamente la derivata prima e seconda di G(x) valutate in 1.

Con le usuali regole di derivazione scopriamo che la derivata prima e seconda di G(x) valgono

\\ G'(x)=\frac{2\pi}{(x+3)^2} \\ \\ \\ G''(x)=\frac{4\pi}{(3+x)^3}

che valutate in x=1 restituiscono i valori

G'(1)=\frac{\pi}{8}\ \mbox{e} \ G''(1)=-\frac{\pi}{16}

di conseguenza lo sviluppo associato a G(x) è

G(x)=\frac{\pi(x-1)}{8}-\frac{\pi(x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)

Per quanto concerne lo sviluppo notevole del seno arrestato al secondo ordine, sappiamo essere:

\sin(t)=t+o(t^2)

In definitiva componendo i due sviluppi e stando attenti a non dimenticare il segno

-\sin\left(\frac{\pi(x-1)}{2(x+3)}\right)=-\frac{\pi(x-1)}{8}+\frac{\pi(x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)

Occupiamoci infine del logaritmo al denominatore, ossia

D_2(x)=\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)

L'antifona è sempre la stessa, osserviamo che quando x\to 1 l'argomento del logaritmo tende a 1, dunque possiamo utilizzare il suo sviluppo notevole.

Procederemo come negli altri casi:

- calcoleremo lo sviluppo dell'argomento centrato in x_0=1

H(x)=\frac{3x+1}{x^2+3}

utilizzando la formula di Taylor.

- scriveremo lo sviluppo di Taylor associato al logaritmo;

- comporremo i due sviluppi così da ottenere quello della funzione composta.

Per quanto concerne lo sviluppo di H(x) utilizziamo la formula

H(x)=H(1)+H'(1)(x-1)+\frac{H''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)

dove H'(1) \ \mbox{e} \ H''(1) sono rispettivamente la derivata prima e seconda di H(x) valutate nel centro.

Nel caso in esame la derivata prima e seconda di H(x) sono

\\ H'(x)=\frac{9-2x-3x^2}{(3+x^2)^2} \\ \\ H''(x)=\frac{-6-54 x+6x^2+6x^3}{(x^2+3)^3}

che valutate in 1 restituiscono i valori

H'(1)=\frac{1}{4} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ H''(1)=-\frac{3}{4}

dunque lo sviluppo associato è

H(x)=1+\frac{x-1}{4}-\frac{3(x-1)^2}{8}+o((x-1)^2)

Per quanto concerne lo sviluppo del logaritmo sappiamo che

\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)

e mediante composizione ricaviamo

\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)=\frac{x-1}{4}-\frac{13(x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)

Con le informazioni in nostro possesso possiamo costruire lo sviluppo associato al denominatore: è sufficiente moltiplicare tra loro gli sviluppi trovati trascurando tutte le potenze di x-1 con esponenti maggiori di 2

\\ \cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}\right)\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)= \\ \\ \\ =\left(-\frac{\pi(x-1)}{8}+\frac{\pi(x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)\right)\left(\frac{x-1}{4}-\frac{13}{32}(x-1)^2+o((x-1)^2)\right)= \\ \\ \\ =-\frac{\pi (x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)

In accordo con la teoria, il limite di partenza

\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x+1}{x^2+1}\arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\frac{x+2}{2x+1}\ln\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)}{\cos\left(\pi\frac{x+1}{x+3}\right)\ln\left(\frac{3x+1}{x^2+3}\right)}=

diventa

=\lim_{x\to 1}\frac{-\frac{11}{24}(x-1)^2+o((x-1)^2)}{-\frac{\pi (x-1)^2}{32}+o((x-1)^2)}=\frac{44}{3\pi}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os