Esercizio successione esponenziale con base variabile e coseno

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Esercizio successione esponenziale con base variabile e coseno #96368

avt
davide abb
Punto
Sono alle prese con lo studio della convergenza di una successione esponenziale con base variabile, coseno e rapporto, presa da una traccia d'esame di analisi 1 (facoltà di ingegneria).

a_n=\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]^{\frac{n^3-1}{n^2+1}}

Ringrazio in anticipo a tutti coloro che mi aiuteranno e vi auguro una buona serata.
 
 

Esercizio successione esponenziale con base variabile e coseno #96392

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio chiede di calcolare il limite per n\to+\infty della successione

a_n=\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]^{\frac{n^3-1}{n^2+1}}

ossia

\lim_{n\to+\infty}\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]^{\frac{n^3-1}{n^2+1}}

Per prima cosa, effettuiamo l'analisi preliminare per comprendere se siamo in presenza di una forma di indecisione oppure no.

Per n\to+\infty l'argomento del coseno tende a 0, e il perché lo vediamo subito.

\lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}

Al numeratore de radicando si manifesta la somma di due potenza n \ \mbox{e} \ n^2, ed entrambe sono degli infiniti per n\to+\infty e in base al confronto tra infiniti per successioni possiamo trascurare n proprio perché ha un esponente minore rispetto a n^2.

Per lo stesso principio, al denominatore del radicando possiamo trascurare n^2 perché è un infinito di ordine inferiore rispetto a 2n^3. In definitiva, siamo autorizzati a scrivere

\\ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{n^2}{2n^3}}=\\ \\ \\=\lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{1}{2n}}=0

e ciò dimostra che per n\to+\infty

\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\to\cos(0)=1

La base della potenza tende a 1. Studiamo il comportamento dell'esponente, impostando il limite

\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-1}{n^2+1}=

Al numeratore possiamo trascurare -1 e al denominatore 1 giacché sono costanti additive che accompagnano degli infiniti

\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}n=+\infty

Nota bene: i passaggi che abbiamo effettuato possono essere sottintesi in un eventuale esame. Lo svolgimento vero e proprio parte da questo punto in poi.

Il limite

\lim_{n\to+\infty}\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]^{\frac{n^3-1}{n^2+1}}=(\bullet)

genera la forma di indecisione [1^{+\infty}] che può essere agevolmente risolta con un trucchetto standard: esprimiamo l'esponenziale a base variabile in forma esponenziale in base e mediante la formula

\alpha_n^{\beta_n}=e^{\beta_n\ln(\alpha_n)} \ \ \ \mbox{con} \ a_n>0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Essa permette di scrivere il limite nella forma più comoda

(\bullet)=\lim_{n\to+\infty}e^{\frac{n^3-1}{n^2+1}\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)}

Per il momento tralasciamo la base e calcoliamo il limite dell'esponente, cioè

\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-1}{n^2+1}\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)

Possiamo affrontare il calcolo avvalendoci delle stime asintotiche per successioni, in particolare:

- la stima asintotica del logaritmo

\ln(1+b_{n})\sim_{n\to+\infty}b_{n}

applicabile quando b_n tende a 0, ossia quando l'argomento del logaritmo tende a 1;

- la stima asintotica della funzione coseno

1-\cos(b_{n})\sim_{n\to+\infty}\frac{1}{2}b_n^2

applicabile quando l'argomento del coseno, b_n, è infinitesimo.

Grazie ad esse saremo in grado di costruire una successione asintotica di cui è facile calcolare il limite.

Per n\to+\infty sussistono le relazioni

\\ n^3-1\sim_{n\to+\infty}n^3 \\ \\ n^2+1\sim_{n\to+\infty}n^2

Per quanto concerne il fattore

\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)

procediamo a scaglioni. Abbiamo dimostrato che l'argomento del logaritmo tende a 1, dunque possiamo avvalerci della relativa stima asintotica, a patto di comprendere qual è la successione che tende a zero. Qui il trucco è standard: bisogna sommare e sottrarre 1 all'interno dell'argomento del logaritmo

\ln\left\{1+\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)-1\right]\right\}

La successione tra parentesi quadre tende a 0 per n\to+\infty e in accordo con relazione asintotica del logaritmo possiamo scrivere

\\ \ln\left\{1+\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)-1\right]\right\}\sim_{n\to+\infty}\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)-1=\\ \\ \\ =-\left[1-\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]

Una volta raccolto il segno -, dovrebbe essere chiaro quale stima asintotica notevole utilizzeremo ora.

Poiché l'argomento del coseno

\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}

è infinitesimo per n\to+\infty possiamo sfruttare la relativa stima asintotica notevole e scrivere

\\ -\left[1-\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]\sim_{n\to+\infty}-\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)^2= \\ \\ \\ = -\frac{1}{2}\cdot\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}

Aggiungiamoci infine che per n\to+\infty il numeratore n+n^2 si comporta asintoticamente come n mentre il denominatore si comporta come 2n^3 per ottenere la stima utile a risolvere il limite

\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)\sim_{n\to+\infty}-\frac{1}{2}\cdot\frac{n^2}{2n^3}=-\frac{1}{4n}

In base al principio di sostituzione degli infiniti equivalenti, possiamo sostituire a ciascun termine la propria stima asintotica così che il limite

\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-1}{n^2+1}\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)=

coincida con il seguente

=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{n^2}\cdot\left(-\frac{1}{4n}\right)=-\frac{1}{4}

Siamo in grado di scrivere il risultato del limite di partenza: è sufficiente ripristinare la base e

\lim_{n\to+\infty}\left[\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right]^{\frac{n^3-1}{n^2+1}}=\lim_{n\to+\infty}e^{\frac{n^3-1}{n^2+1}\ln\left(\cos\left(\sqrt{\frac{n+n^2}{n^2+2n^3}}\right)\right)}=e^{-\frac{1}{4}}

L'esercizio è concluso.

Volendo possiamo avvalerci delle definizioni di potenza con esponente negativo e di potenza con esponente fratto per esprimere il risultato nella seguente forma

e^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}}
Ringraziano: CarFaby

Esercizio successione esponenziale con base variabile e coseno #96394

avt
davide abb
Punto
Ti ringrazio sei stato chiarissimo e molto paziente.

Ti auguro una buona serata
Ringraziano: Ifrit
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Os