Retta ortogonale a un piano e passante per un punto

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Retta ortogonale a un piano e passante per un punto #96354

avt
cucaio1974
Punto
Avrei bisogno di un aiuto per un esercizio sulla forma cartesiana di una retta ortogonale a un piano e passante per un punto.

Siano dati il punto P(2,-4,3) e il piano \pi con forma cartesiana 3x-2y+z=0. Trovare una forma cartesiana della retta r ortogonale a \pi e passante per P. Trovare un'equazione della sfera di centro P e tangente al piano \pi.

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Retta ortogonale a un piano e passante per un punto #96366

avt
Galois
Coamministratore
Iniziamo col trovare l'equazione della retta passante per il punto P(2,-4,3) e ortogonale al piano \pi: \ 3x-2y+z=0

Poiché retta e piano devono essere ortogonali, la direzione della retta r coincide con la direzione del piano, la quale è data dal vettore le cui componenti sono i coefficienti direttori del piano. Pertanto:

v_r=(l,m,n)=(3,-2,1)

Dal momento che disponiamo della direzione della retta e di un punto appartenente ad essa possiamo scrivere l'equazione parametrica della retta r

\begin{cases}x=x_p+lt \\ y=y_p+mt \\ z=z_p+nt\end{cases}, \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

Sostituendo i valori noti otteniamo

r: \ \begin{cases}x=2+3t \\ y=-4-2t \\ z=3+t\end{cases}, \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

Poiché l'esercizio chiede l'equazione cartesiana della retta dobbiamo passare dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana della retta.

Dalla terza equazione ricaviamo il parametro t in funzione dell'incognita z

t=z-3

Sostituiamolo nelle altre due equazioni, ottenendo così l'equazione cartesiana cercata.

\\ r: \ \begin{cases}x=2+3(z-3) \\ y=-4-2(z-3) \end{cases} \\ \\ \\ r: \ \begin{cases} x-3z+7=0 \\ y+2z-2=0 \end{cases}


Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio in cui dobbiamo trovare l'equazione della sfera avente come centro il punto P(2,-4,3) e tangente al piano \pi: \ 3x-2y+z=0

L'equazione della sfera è data dalla formula

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

dove

(x_C,y_C,z_C) sono le coordinate cartesiane del centro della sfera (che già conosciamo) e r è il raggio della sfera.

Poiché sappiamo che la sfera è tangente al piano \pi, la misura del raggio uguaglia la distanza tra centro e piano, ossia il raggio della sfera è proprio la distanza tra il punto P(2,-4,3) e il piano \pi: \ 3x-2y+z=0

La distanza punto piano si calcola usando la formula seguente:

r=\mbox{d}(P,\pi) = \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

dove a,b,c,d sono i parametri che definiscono il piano e (x_P, y_P, z_P) le coordinate cartesiane del punto P.

Nel problema dato:

a=3, \ b=-2, \ c=1, \ d=0

il punto P ha coordinate

(x_P, y_P, z_P) = (2, -4, 3)

Sostituendo nella formula sulla distanza punto piano si ottiene

\\ r= \mbox{d}(P,\pi) = \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 1 \cdot 3 + 0|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}}= \\ \\ \\ = \frac{|6+8+3|}{\sqrt{9+4+1}} = \frac{17}{\sqrt{14}}

Abbiamo tutto quello che ci occorre per scrivere l'equazione della sfera:

(x-2)^2+(y+4)^2+(z-3)^2=\frac{289}{14}

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
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Os