Verificare parallelismo tra retta e piano

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Verificare parallelismo tra retta e piano #96345

avt
cucaio1974
Punto
Avrei bisogno di un aiuto in questo problema che chiede di verificare il parallelismo tra retta e piano e di trovare l'equazione del piano che contiene una retta e un punto.

Il testo è il seguente: verificare che la retta r di equazione

r: \ \begin{cases}2x-y+3z-1=0  \\ y+z-3=0 \end{cases}

è parallela al piano \pi di equazione

\pi: \ 2x+y+5z-3=0

Fatto ciò, trovare il piano che contiene la retta r e passa per il punto P(3,1,-1).
 
 

Verificare parallelismo tra retta e piano #96349

avt
Galois
Coamministratore
Per verificare il parallelismo tra retta e piano dobbiamo considerare il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite ottenuto mettendo a sistema l'equazione della retta r con l'equazione del piano.

\begin{cases}2x-y+3z-1=0 \\ y+z-3=0 \\ 2x+y+5z-3=0\end{cases}

Retta e piano sono paralleli se e solo se il precedente sistema è incompatibile, ossia se non ammette soluzioni.

Dal Teorema di Rouché Capelli sappiamo che un sistema lineare è incompatibile se e solo se il rango della matrice completa e il rango della matrice incompleta associate al sistema sono diversi.

Dobbiamo quindi procedere al calcolo del rango della matrice incompleta A e della matrice completa (A|b) associate al sistema

\\ A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b) = \begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Attraverso la regola di Sarrus (lascio a te i conti) si ottiene che il determinante della matrice A è nullo.

\mbox{det}(A)=0

Di conseguenza il rango della matrice A è minore o, al più, uguale a 2.

\mbox{rank}(A) \le 2

Poiché il minore di ordine 2 della matrice A ottenuto eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante diverso da zero

\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=2

possiamo concludere che il rango della matrice A è uguale a 2.

Passiamo ora allo studio del rango della matrice

(A|b) = \begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Essendo una matrice con 3 righe e 4 colonne, il suo rango sarà al più 3; in particolare è proprio 3 se esiste un minore di ordine 3 avente determinante non nullo.

Consideriamo allora il minore di ordine 3 che si ottiene eliminando la prima colonna e calcoliamone il determinante. Sempre attraverso la regola di Sarrus si ottiene

\mbox{det}\begin{pmatrix}-1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 5 & -3 \end{pmatrix} = -16 \neq 0

Possiamo così concludere che il rango della matrice (A|b) è uguale a 3.

Dal momento che il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa sono diversi, retta e piano sono paralleli.

Prima di procedere oltre, per chiarire ogni eventuale dubbio ti invito a leggere la nostra lezione sulla posizione tra retta e piano - click!

Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio, la quale chiede di trovare l'equazione del piano che contiene la retta

r: \ \begin{cases}2x-y+3z-1=0 \\ y+z-3=0\end{cases}

e passa per il punto P(3,1,-1).

Iniziamo con lo scriverci l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi:

ax+by+cz+d=0

Per determinare il valore dei parametri a,b,c,d ci servono due direzioni e un punto.

Il punto lo abbiamo: P(3,1,-1)

Le due direzioni le possiamo trovare come segue:

- una è la direzione della retta r, che chiamiamo v;

- l'altra, che diciamo w, la possiamo costruire trovando un qualsiasi punto della retta r e calcolando la differenza tra il punto P fornito dal testo del problema e il punto appartenente alla retta.

Dal prodotto vettoriale delle due direzioni così ottenute si ricavano i coefficienti direttori del piano (a,b,c) cercato.

Trovati i coefficienti direttori, vanno sostituiti nell'equazione generale del piano. Fatto ciò, imponendo il passaggio per il punto P si ricava il valore del parametro d ottenendo l'equazione del piano cercata.

Questo è il modus operandi; ora procediamo coi conti.

Per trovare la direzione della retta r passiamo dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica della retta.

r: \ \begin{cases}2x-y+3z-1=0 \\ y+z-3=0\end{cases}

Poniamo

z=t

Dalla seconda equazione si ottiene

y=3-t

Sostituendo nella prima ricaviamo il valore di x in funzione del parametro t

2x = y-3z+1 = 3 - t - 3t + 1 = 4-4t

Dividendo ambo i membri per 2 si ricava

x=2-2t

L'equazione parametrica della retta r è:

r: \ \begin{cases}x=2-2t \\ y=3-t \\ z=t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}

La direzione v della retta r è data dai coefficienti del parametro t, ossia

v=(-2,-1,1)

Come detto poc'anzi, per trovare la seconda direzione w troviamo le coordinate cartesiane di un punto qualsiasi della retta r (chiamiamolo P_r) e calcoliamo la differenza tra il punto P e il punto P_r.

Il modo più semplice e veloce di trovare un punto della retta r è quello di sostituire il valore t=0 nella sua equazione parametrica. Otteniamo così

P_r = (2,3,0)

Quindi

w=P-P_r=(3,1,-1)-(2,3,0) = (1,-2,-1)

è la seconda direzione cercata.

Dal prodotto vettoriale tra le due direzioni si ricavano i parametri direttori del piano.

(a,b,c) = v \times w = (-2,-1,1) \times (1,-2,-1) = (3,-1,5)

Sostituiamoli nell'equazione generale del piano

3x-y+5z+d=0

e ricaviamo il valore del parametro d imponendo il passaggio per il punto P(3,1,-1), cioè sostituendo le coordinate di P nell'equazione del piano

\\ 3 \cdot 3 - 1 + 5 \cdot (-1) + d = 0 \\ \\ 9-1-5+d=0 \\ \\ d=-3

Possiamo così concludere che l'equazione del piano cercato è

3x-y+5z-3=0

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby

Re: Verificare parallelismo tra retta e piano #96350

avt
cucaio1974
Punto
grazie tante
Ringraziano: Galois

Re: Verificare parallelismo tra retta e piano #96355

avt
cucaio1974
Punto
L'ultimo dubbio, mi scuso per la domanda: ma se fosse stato al contrario, cioè verificare che il piano dato dall'equazione non è parallelo alla retta, il procedimento sarebbe stato lo stesso?

Re: Verificare parallelismo tra retta e piano #96365

avt
Galois
Coamministratore
Sì, il procedimento sarebbe stato uguale, con l'unica differenza del risultato.

Se retta e piano non sono paralleli allora il sistema lineare definito dalle loro equazioni deve essere compatibile e ammettere una o infinite soluzioni.

Nel primo caso retta e piano sono incidenti, nel secondo la retta è contenuta nel piano.

Ad ogni modo è tutto spiegato nella lezione sulle posizioni tra retta e piano che ti ho linkato nella risposta precedente. emt
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Os