Problema con frazioni e numero di pagine di un libro

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Problema con frazioni e numero di pagine di un libro #95988

avt
Jacopo33
Punto
Mi spiegate come risolvere un problema con le frazioni sul calcolo del numero di pagine di un libro?

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro, poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti. Alla fine mi restano da leggere 52 pagine. Da quante pagine è formato il libro?

Grazie.
 
 

Re: Problema con frazioni e numero di pagine di un libro #96006

avt
Omega
Amministratore
Eccoci,

dato che il problema è stato assegnato in prima liceo scientifico, possiamo ricorrere alle equazioni di primo grado.

Quello proposto è un problema del tipo "tradurre il testo in un'equazione e risolverla per giungere al risultato".

Ripartiamo dal testo:

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro, poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti. Alla fine mi restano da leggere 52 pagine. Da quante pagine è formato il libro?

Per prima cosa dobbiamo assegnare opportunamente il ruolo di incognita: noi dobbiamo calcolare il numero di pagine del libro, quindi chiamiamo

x\ \to \ \mbox{numero di pagine del libro}

Leggiamo attentamente la traccia in modo da scrivere l'equazione:

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro

Questo termine si scrive, in linguaggio simbolico, come

\frac{2}{3}x

poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti.

Per trascrivere questo termine cominciamo con le pagine restanti: poiché x è il numero di pagine del libro, e poiché ne abbiamo già lette \frac{2}{3}x, avremo

x-\frac{2}{3}x\ \to \ \mbox{pagine restanti}

Bene. La frase completa è: poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti, quindi

\frac{2}{3}\left(x-\frac{2}{3}x\right)\ \to \ \frac{2}{3}\mbox{ delle pagine restanti}

Mettiamo tutto assieme:

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro, poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti

dunque il numero totale di pagine lette è dato dalla somma dei due contributi

\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(x-\frac{2}{3}x\right)\ \ \ \mbox{totale pagine lette}

Il testo si conclude così:

Alla fine mi restano da leggere 52 pagine.

"Alla fine" intende che, dopo aver letto il numero totale di pagine lette, rimangono 52 pagine. Di conseguenza 52 pagine è la differenza tra il numero di pagine del libro e il numero totale di pagine lette

\mbox{numero di pagine del libro}-\mbox{totale pagine lette}=52

vale a dire

x-\left[\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(x-\frac{2}{3}x\right)\right]=52

Abbiamo ricavato l'equazione: non ci resta che risolverla.

Seguiamo l'ordine delle operazioni. Moltiplichiamo termine a termine il coefficiente \frac{2}{3} per i termini della coppia di parentesi tonde, applicando la regola dei segni

x-\left[\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}x\right]=52

Stesso identico discorso per la coppia di parentesi quadre

x-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}x=52

Ora calcoliamo il minimo comune denominatore al membro di sinistra

\frac{9x-3\cdot 2x-3\cdot 2x+4x}{9}=52

che diventa

\frac{1}{9}x=52

ossia, moltiplicando termine a termine per 9

x=52\cdot 9\ \to\ x=468

Facoltativo - Verifica del risultato

Verifichiamo il risultato ottenuto ripercorrendo la traccia dell'esercizio:

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro, poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti. Alla fine mi restano da leggere 52 pagine. Da quante pagine è formato il libro?

Ho letto i \frac{2}{3} di un libro

\frac{2}{3}\cdot 468=312

Pagine restanti:

468-312=156

poi i \frac{2}{3} delle pagine restanti

\frac{2}{3}\cdot 156=104

Totale pagine lette

312+104=416

Alla fine mi restano da leggere 52 pagine

468-416=52

Come previsto.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby
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Os