Espressione con potenze e divisioni successive

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Espressione con potenze e divisioni successive #95944

avt
Jacopo33
Punto
Non riesco a risolvere un'espressione con potenze e divisioni successive, applicando le regole per semplificare le potenze:

\left(-\frac{1}{20}\right)^{-20}:\left(\frac{1}{50}\right)^3:10^{10}

Grazie in anticipo!
 
 

Espressione con potenze e divisioni successive #95947

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Jacopo33,

l'esercizio chiede di risolvere l'espressione con le potenze

\left(-\frac{1}{20}\right)^{-20}:\left(\frac{1}{50}\right)^3:10^{10}=

Il primo passaggio consiste nell'applicare con giudizio le proprietà delle potenze, in particolare può essere d'aiuto utilizzare la definizione di potenza con esponente negativo con cui possiamo esprimere \left(-\frac{1}{20}\right)^{-20} come una potenza con esponente positivo a patto di passare al reciproco la base:

=\left(-20\right)^{20}:\left(\frac{1}{50}\right)^3:10^{10}=

Inoltre, grazie alla proprietà sul quoziente di due potenze con lo stesso esponente (letta al contrario) possiamo distribuire l'esponente della seconda potenza sia al numeratore che al denominatore della base

=(-20)^{20}:\frac{1^3}{50^3}:10^{10}=

Osserviamo che (-20)^{20}=20^{20} perché la base è sì negativa, ma la potenza ha esponente pari, ecco perché il segno meno sparisce: per approfondire ti consiglio di leggere la lezione sulla regola dei segni.

=20^{20}:\frac{1}{50^3}:10^{10}=

Ora che ci siamo sbarazzati delle parentesi tonde, dobbiamo continuare con le operazioni, ma in che ordine?

Poiché nell'espressione si manifestano esclusivamente divisioni, eseguiremo le operazioni nell'ordine di lettura (da sinistra a destra). Riteniamo opportuno sottolineare che, in generale, cambiare l'ordine delle operazioni senza tenere conto delle regole conduce quasi certamente ad un risultato errato.

Eseguiamo dunque la divisione tra la prima potenza e la seconda, trasformando l'operazione in una moltiplicazione tra la prima e il reciproco della seconda

\\ =20^{20}\times\frac{50^{3}}{1}:10^{10}= \\ \\ \\ =20^{20}\times 50^{3}:10^{10}=

A questo punto scomponiamo in fattori primi 50 e 20: così sarà facile effettuare in seguito le semplificazioni

=(2^2\times 5)^{20}\times (2\times 5^2)^{3}:10^{10}=

Grazie alla proprietà sulla potenza di un prodotto possiamo distribuire l'esponente a ciascun fattore

=(2^2)^{20}\times 5^{20}\times 2^3\times (5^2)^{3}:10^{10}=

e in forza della regola sulla potenza di una potenza scriviamo

\\ =2^{2\times 20}\times 5^{20}\times 2^{3}\times 5^{2\times 3}:10^{10}= \\ \\ \\ =2^{40}\times 5^{20}\times 2^{3}\times 5^{6}:10^{10}=

Attenzione! Prima del simbolo di divisione, compaiono prodotto di potenze con la stessa base, dunque possiamo sfruttare l'omonima regola grazie a cui scriviamo:

=2^{40+3}\times 5^{20+6}:10^{10}=2^{43}\times 5^{26}:10^{10}=

Siamo in dirittura d'arrivo; non ci resta che trasformare la divisione rimasta in moltiplicazione, passando al reciproco 10^{10}

=2^{43}\times 5^{26}\times\frac{1}{10^{10}}=

dopodiché scomponiamo 10 in fattori primi

=2^{43}\times 5^{26}\times \frac{1}{(2\times 5)^{10}}=

e distribuiamo l'esponente a ciascun fattore

=\frac{2^{43}\times 5^{26}}{2^{10}\times 5^{10}}=

Applichiamo la proprietà sul quoziente di due potenze aventi la stessa base e infine, dopo pochi calcoli, scriviamo il risultato

=2^{43-10}\times 5^{26-10}=2^{33}\times 5^{16}

Approfondimento, non necessario ai fini dell'esercizio

Volendo, potremmo esprimere il risultato per esteso, che per la cronaca è

1\ 310\ 720\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000

ma sinceramente non vedo come ciò possa essere istruttivo dal punto di vista didattico, a meno che non si voglia esprimerlo in notazione scientifica come

1,31072\times 10^{21}

Ad ogni modo, puoi controllare la correttezza del risultato grazie al risolutore di espressioni online.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os