Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti

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Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti #95809

avt
caflocaflo
Punto
Devo studiare la continuità e individuare gli eventuali punti di non derivabilità di una funzione definita per casi:

f(x)=\begin{cases}\log\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|+\frac{x^2-8}{x-8}\ \ \ \mbox{per }x\neq \pm\sqrt{8},\ x\neq \pm 8\\ \\ 0\ \ \ \mbox{per }x=\pm\sqrt{8},\ x=\pm 8\end{cases}

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti #95811

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo la funzione definita a tratti

f(x)=\begin{cases}\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)+\frac{x^2-8}{x-8}&\mbox{per} \ x\ne\pm\sqrt{8}\vee x\ne\pm8 \\ \\ 0&\mbox{per} \ x=\pm\sqrt{8}\vee x=\pm 8\end{cases}

ed analizziamo preliminarmente l'insieme su cui è definita, in altri termini studiamo il dominio.

A conti fatti f(x) è formata da due rami

f_{1}(x)=\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)+\frac{x^2-8}{x-8}

definita sull'insieme

D=(-\infty,-\sqrt{8})\cup(-\sqrt{8},\sqrt{8})\cup (\sqrt{8},8)\cup(8,+\infty)

L'insieme di definizione si ottiene dallo studio della disequazione con valore assoluto

\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|>0

e rappresenta la condizione di esistenza per il logaritmo: ricordiamo infatti che affinché la funzione logaritmica abbia senso dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di 0.

Ricordiamo, inoltre, che il valore assoluto è positivo quando il suo argomento è non nullo, ossia

\frac{x^2-8}{x-8}\ne0

da cui otteniamo che x\ne 8 per via della presenza del denominatore e

x^2-8\ne0\to x\ne\pm\sqrt{8}

Attenzione, nell'intestazione della funzione compare la condizione x\ne-8, ottenendo l'insieme

Dom(f_1)=(-\infty, -8)\cup (-8,-\sqrt{8})\cup(-\sqrt{8},\sqrt{8})\cup (\sqrt{8},8)\cup(8,+\infty)

Il secondo ramo della funzione è f_2(x)=0 nel momento in cui x assume uno dei valori x=\pm\sqrt{8}\vee x=\pm8, pertanto la funzione f(x) per tutti i valori dell'asse reale, ossia

Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)

Determinato il dominio, possiamo dedicarci allo studio della continuità avvalendoci dei teoremi che la teoria fornisce.

Per x\ne\pm\sqrt{8} e per x\ne \pm8 la funzione è certamente continua perché composizione di funzioni continue.

Gli unici punti dubbi sono x=\pm\sqrt{8}\ \mbox{e} \ x=\pm 8 la cui analisi richiede la definizione di continuità. Analizzeremo il limite destro e il limite sinistro per x che tende a ciascun punto e se tali limiti esistono finiti e coincidono con il valore che la funzione assume nel punto allora f(x) è continua in tale punto.

\lim_{x\to-\sqrt{8}^{-}}f(x)=\lim_{x\to-\sqrt{8}}\left[\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)+\frac{x^2-8}{x-8}\right]=\left[-\infty+0\right]=-\infty

Il risultato di tale limite ci permette di concludere immediatamente che f(x) non può essere continua in x=-\sqrt{8} giacché il limite sinistro non è finito.

Ad ogni modo, si vede abbastanza agilmente che il limite destro è anch'esso -\infty

\lim_{x\to-\sqrt{8}^{+}}f(x)=-\infty

Lo studio dei limiti permettono di concludere che x=-\sqrt{8} è l'equazione di un asintoto verticale.

Procedendo allo stesso modo per x=\sqrt{8} otteniamo immediatamente che il limite destro e il limite sinistro sono entrambi -\infty

\lim_{x\to\sqrt{8}^{+}}f(x)=-\infty \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{x\to\sqrt{8}^{-}}f(x)=-\infty

evidenziando la presenza di un asintoto verticale di equazione x=\sqrt{8} e mettendo in risalto che f(x) non può essere continua in x=\sqrt{8}.

I limiti sinistro e destro per x\to 8 richiedono qualche accortezza in più: calcoleremo i limiti per sostituzione.

Poniamo

t=\frac{x^2-8}{x-8}

ed osserviamo che quando x\to 8^{-} la variabile t\to-\infty. Tale sostituzione ci permette di scrivere l'uguaglianza

\lim_{x\to8^{-}}\left[\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)+\frac{x^2-8}{x-8}\right]=\lim_{t\to -\infty}[\log\left(|t|)+t]=[+\infty-\infty]=

Abbiamo ottenuto una forma indeterminata che può essere sciolta mediante il confronto tra infiniti: è sufficiente osservare che la funzione logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alla funzione potenza di conseguenza il termine logaritmico può essere bellamente trascurato.

=\lim_{t\to-\infty}t=-\infty

Procediamo allo stesso modo per x\to 8^{+}, stando attenti che in tale occasione, se x\to 8^{+} allora t\to+\infty, dunque il limite diventa

\lim_{x\to8^{+}}f(x)=\lim_{t\to+\infty}\left[\ln(|t|)+t\right]=[+\infty+\infty]=+\infty

Esso non manifesta alcuna forma indeterminata e si risolve applicando l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

Analizziamo il punto x=-8, costruendo il limite destro e il limite sinistro per x\to -8

\lim_{x\to -8^{+}}f(x)=\log\left(\frac{7}{2}\right)-\frac{7}{2}

dove il risultato si ottiene per sostituzione diretta. Procedendo allo stesso modo

\lim_{x\to -8^{-}}f(x)=\log\left(\frac{7}{2}\right)-\frac{7}{2}

Osserviamo che il limite destro e il limite sinistro esistono finiti e coincidono ma non coincidono con il valore che la funzione assume in x=-8, ossia

\log\left(\frac{7}{2}\right)-\frac{7}{2}=\lim_{x\to-8^{+}}f(x)=\lim_{x\to-8^{-}}f(x)\ne f(-8)=0

e tale informazione ci permette di asserire che f(x) è prolungabile con continuità nel punto x=-8, ridefinendo la funzione in tale punto semplicemente ponendo

f(-8)=\log\left(\frac{7}{2}\right)-\frac{7}{2}

Concludiamo che:

- l'equazione x=8 identifica un asintoto verticale per la funzione f(x);

- la funzione f(x) non è continua in x=8;

- la funzione f(x) ammette prolungamento continuo in x=-8, infatti x=-8 è un punto di discontinuità eliminabile per f(x).

Studio della derivabilità

Lo studio della derivabilità della funzione avviene mediante l'uso di teoremi, in particolare possiamo osservare che per x\ne\pm\sqrt{8}\ \mbox{e} \ x\ne 8 la funzione è derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

Inoltre, poiché f(x) non è continua nei punti x=\pm\sqrt{8}\ \mbox{e} x=8 allora possiamo concludere immediatamente che f(x) non è derivabile in tali valori. Sottolineiamo infatti che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità.

Osserviamo che tali punti non possono essere né punti angolosi, né cuspidi, né punti di flesso a tangente verticale perché per ciascuno di essi passa un asintoto verticale (viene meno la continuità).

Attenzione! Abbiamo visto che la funzione può essere prolungata nel punto x_0=-8, dunque ha senso studiare la derivabilità della funzione prolungata in tale punto. Lo facciamo in seguito dopo aver calcolato la derivata prima, per il momento studiamo gli eventuali massimi e minimi.

Studio dei massimi e dei minimi

Studiamo i massimi e minimi della funzione calcolando la derivata prima di f(x):

f'(x)=\frac{d}{dx}\left[\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)+\frac{x^2-8}{x-8}\right]=

Per prima cosa invochiamo il teorema sulla derivata di una somma il quale ci permette di scrivere:

=\frac{d}{dx}\left[\log\left(\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right)\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-8}{x-8}\right]=

Per il calcolo della derivata del primo addendo interviene il teorema sulla derivata di una funzione composta mentre per il secondo addendo interviene il teorema sulla derivata del quoziente

=\frac{1}{\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|}\cdot\frac{d}{dx}\left[\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|\right]+\frac{2x(x-8)-(x^2-8)}{(x-8)^2}=

Deriviamo il valore assoluto

=\frac{1}{\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|}\cdot\frac{\left|\frac{x^2-8}{x-8}\right|}{\frac{x^2-8}{x-8}}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-8}{x-8}\right]+\frac{x^2-16x+8}{(x-8)^2}=

semplifichiamo a dovere l'espressione

=\frac{1}{\frac{x^2-8}{x-8}}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2-8}{x-8}\right]+\frac{x^2-16x+8}{(x-8)^2}=

e portiamo a termine le derivate rimaste eseguendo tutti i calcoli del caso

=\frac{(x^2+x-16)(x^2-16x+8)}{(x-8)^2(x^2-8)}

Prima di passare allo studio del segno della derivata prima, controlliamo la derivabilità della funzione prolungata nel punto x_0=-8:

\lim_{x\to-8^{-}}f'(x)=\lim_{x\to-8^{-}}\frac{(x^2+x-16)(x^2-16x+8)}{(x-8)^2(x^2-8)}=\frac{125}{224}

così come

\lim_{x\to-8^{+}}f'(x)=\lim_{x\to-8^{-}}\frac{(x^2+x-16)(x^2-16x+8)}{(x-8)^2(x^2-8)}=\frac{125}{224}

Entrambi i limiti si calcolano per sostituzione diretta. Poiché i due limiti esistono finiti e coincidono, possiamo concludere che la funzione prolungata è derivabile nel punto x_0=-8 e inoltre

f'(-8)=\frac{125}{224}

Lo studio del segno della derivata prima permetterà di determinare gli intervalli di monotonia, ossia gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce.

f'(x)\ge 0\iff \frac{(x^2+x-16)(x^2-16x+8)}{(x-8)^2(x^2-8)}\ge0

Risoliamo la disequazione fratta studiando il segno di ciascun fattore e dopo aver costruito la tabella dei segni concludiamo che la derivata prima è:

- positiva negli intervalli

\\ \left(-\infty, \frac{-1-\sqrt{65}}{2}\right) \ \ \ ; \ \ \ \left(-\sqrt{8}, 8-2\sqrt{14}\right) \\ \\ \\ \left(\sqrt{8}, \frac{-1+\sqrt{65}}{2}\right) \ \ \ ; \ \ \ \left(8+\sqrt{14}, +\infty\right)

su cui la funzione f(x) risulta strettamente crescente;

- negativa negli intervalli

\\ \left(\frac{-1-\sqrt{65}}{2}, -\sqrt{8}\right) \ \ \ ; \ \ \ \left(8-2\sqrt{14}, \sqrt{8}\right) \\ \\ \\ \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{8}, 8\right) \ \ \ ; \ \ \ \left(8, 8+2\sqrt{14}\right)

su cui la funzione f(x) è strettamente decrescente;

- nulla nei punti

\\ x_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{2} \ \ \ ; \ \ \ x_2=8-2\sqrt{14} \\ \\ x_3=\frac{-1+\sqrt{65}}{2} \ \ \ ; \ \ \ x_4=8+2\sqrt{14}.

In accordo con la teoria sui massimi e minimi concludiamo che:

- il punto x_1 è un punto di massimo relativo;

- il punto x_2 è un punto di massimo relativo;

- il punto x_3 è un punto di massimo relativo;

- il punto x_4 è un punto di minimo relativo.

Fatto!
Ringraziano: CarFaby

Re: Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti #95812

avt
caflocaflo
Punto
Grazie! Però ho un dubbio teorico: è vero che se i limiti destro e sinistro non sono finiti e uguali si ha una discontinuità in quel punto, ma non dovrebbe essere una discontinuità eliminabile dato che la funzione nei punti in cui non è continua è uguale a 0?

Re: Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti #95817

avt
Ifrit
Ambasciatore
Attenzione: si ha discontinuità eliminabile nel momento in cui i limiti destro e sinistro esistono finiti e tra loro coincidenti ma non coincidono con il valore che la funzione assume nel punto.

Se uno dei due limiti destro o sinistro non è finito o non esiste allora siamo di fronte ad un punto di discontinuità eliminabile di seconda specie.

Troverai tutto quello che ti serve nella lezione relativa ai punti di discontinuità. emt

Ti invito a rileggere la risposta; ho apportato delle modifiche.
Ringraziano: caflocaflo

Re: Continuità e punti di non derivabilità di una funzione a tratti #95819

avt
caflocaflo
Punto
Perfetto, grazie mille !
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Os