Serie con parametro positivo, con coseno e prodotto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Serie con parametro positivo, con coseno e prodotto #95755

avt
123xyz
Punto
Vorrei capire come studiare il comportamento della seguente serie parametrica con un prodotto e con un coseno al variare del parametro reale \alpha>0

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}(1-\cos(n^{-\alpha}))

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Serie con parametro positivo, con coseno e prodotto #95756

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao 123xyz,

il problema ci chiede di determinare i valori di \alpha>0 per i quali la serie parametrica

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\left(1-\cos(n^{-\alpha})\right)

converge. Poniamo innanzitutto

a_n=n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\left(1-\cos(n^{-\alpha})\right)

ed osserviamo che la successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}-\{0\}} è a termini positivi perché prodotto di termini positivi, infatti

\bullet \ \ \ n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}>0\ \ \ \mbox{per ogni}\  n\in\mathbb{N}-\{0\}; \\ \\ \bullet \ \ \ 1-\cos\left(n^{-\alpha}\right)>0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}-\{0\} \ \mbox{e per ogni}\ \alpha>0.

Un modo per risolvere il problema consiste nell'utilizzare il criterio del confronto asintotico. Il nostro compito diventa quindi quello di determinare una successione (b_n)_{n\in\mathbb{N}} che sia asintoticamente equivalente a (a_n)_{n\in\mathbb{N}} e dedurre il comportamento della serie data analizzando la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}b_n

Come determinare la successione b_n? Il processo è semplice.

Il fattore n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1} è asintoticamente equivalente a se stesso

\bullet\ \ n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\sim_{n\to+\infty}n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}

Per quanto concerne il fattore con il coseno

1-\cos(n^{-\alpha})

bisogna effettuare un piccolo ragionamento preliminare. Osserviamo che per \alpha>0 si ha che -\alpha<0 di conseguenza

\lim_{n\to+\infty}n^{-\alpha}=0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha>0

in altri termini, stiamo asserendo che l'argomento del coseno è infinitesimo per n\to+\infty, pertanto siamo autorizzati ad utilizzare il limite notevole per successioni

\lim_{a_n\to0}\frac{1-\cos(a_n)}{a_n^2}=\frac{1}{2}

il quale ci permette di costruire la stima asintotica

1-\cos(a_n)\sim_{a_n\to0}\frac{1}{2}[a_n]^{2}

valida ogniqualvolta il coseno ha argomento infinitesimo.

Applicandola al caso in esame, otteniamo

\bullet \ \ 1-\cos(n^{-\alpha})\sim_{n\to+\infty}\frac{1}{2}(n^{-\alpha})^2=\frac{1}{2}n^{-2\alpha} \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha>0

In definitiva, per \alpha>0 la successione

a_n=n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\left(1-\cos(n^{-\alpha})\right)

si comporta asintoticamente come

b_n=n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\cdot\frac{1}{2}n^{-2\alpha}=\frac{1}{2}n^{\frac{\alpha^2}{5}-2\alpha-1}=

che, in accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, si esprime nella forma equivalente

=\frac{1}{2 n^{1+2\alpha-\frac{\alpha^2}{5}}}

Il teorema del confronto asintotico garantisce che la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\left(1-\cos(n^{-\alpha})\right)

ha lo stesso comportamento della serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2 n^{1+2\alpha-\frac{\alpha^2}{5}}}=

Osserviamo che la costante moltiplicativa \frac{1}{2} può essere trasportata fuori dal simbolo di serie giacché non dipende dall'indice di sommatoria

=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1+2\alpha-\frac{\alpha^2}{5}}}

Quella ottenuta è, a meno della costante moltiplicativa, una serie armonica generalizzata che sappiamo essere convergente nel momento in cui l'esponente è maggiore di 1, ossia

1+2\alpha-\frac{\alpha^2}{5}>1

Abbiamo ottenuto una disequazione di secondo grado equivalente a

5+10\alpha-\alpha^2>5\implies\alpha^2-10\alpha<0

Non ci resta che risolvere la disequazione per concludere che la serie

\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1+2\alpha-\frac{\alpha^2}{5}}}

converge se e solo se 0<\alpha<10, dunque

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{\frac{1}{5}\alpha^2-1}\left(1-\cos(n^{-\alpha})\right)

converge se e solo se 0<\alpha<10.
Ringraziano: CarFaby, 123xyz

Re: Serie con parametro positivo, con coseno e prodotto #95757

avt
123xyz
Punto
Grazie mille Ifrit!
Ringraziano: Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os