Serie con parametro positivo, con coseno e prodotto

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#95755
avt
123xyz
Punto

Vorrei capire come studiare il comportamento della seguente serie parametrica con un prodotto e con un coseno al variare del parametro reale α > 0

Σ_(n = 1)^(+∞)n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

Grazie in anticipo.

#95756
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao 123xyz,

il problema ci chiede di determinare i valori di α > 0 per i quali la serie parametrica

Σ_(n = 1)^(+∞)n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

converge. Poniamo innanzitutto

a_n = n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

ed osserviamo che la successione (a_n)_(n∈N−0) è a termini positivi perché prodotto di termini positivi, infatti

• n^((1)/(5)α^2−1) > 0 per ogni n∈N−0; ; • 1−cos(n^(−α)) > 0 per ogni n∈N−0 e per ogni α > 0.

Un modo per risolvere il problema consiste nell'utilizzare il criterio del confronto asintotico. Il nostro compito diventa quindi quello di determinare una successione (b_n)_(n∈N) che sia asintoticamente equivalente a (a_n)_(n∈N) e dedurre il comportamento della serie data analizzando la serie

Σ_(n = 1)^(+∞)b_n

Come determinare la successione b_n? Il processo è semplice.

Il fattore n^((1)/(5)α^2−1) è asintoticamente equivalente a se stesso

• n^((1)/(5)α^2−1) ~ _(n → +∞)n^((1)/(5)α^2−1)

Per quanto concerne il fattore con il coseno

1−cos(n^(−α))

bisogna effettuare un piccolo ragionamento preliminare. Osserviamo che per α > 0 si ha che −α < 0 di conseguenza

lim_(n → +∞)n^(−α) = 0 per ogni α > 0

in altri termini, stiamo asserendo che l'argomento del coseno è infinitesimo per n → +∞, pertanto siamo autorizzati ad utilizzare il limite notevole per successioni

lim_(a_n → 0)(1−cos(a_n))/(a_n^2) = (1)/(2)

il quale ci permette di costruire la stima asintotica

1−cos(a_n) ~ _(a_n → 0)(1)/(2)[a_n]^(2)

valida ogniqualvolta il coseno ha argomento infinitesimo.

Applicandola al caso in esame, otteniamo

• 1−cos(n^(−α)) ~ _(n → +∞)(1)/(2)(n^(−α))^2 = (1)/(2)n^(−2α) per ogni α > 0

In definitiva, per α > 0 la successione

a_n = n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

si comporta asintoticamente come

b_n = n^((1)/(5)α^2−1)·(1)/(2)n^(−2α) = (1)/(2)n^((α^2)/(5)−2α−1) =

che, in accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, si esprime nella forma equivalente

= (1)/(2 n^(1+2α−(α^2)/(5)))

Il teorema del confronto asintotico garantisce che la serie

Σ_(n = 1)^(+∞)n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

ha lo stesso comportamento della serie

Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(2 n^(1+2α−(α^2)/(5))) =

Osserviamo che la costante moltiplicativa (1)/(2) può essere trasportata fuori dal simbolo di serie giacché non dipende dall'indice di sommatoria

= (1)/(2)Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^(1+2α−(α^2)/(5)))

Quella ottenuta è, a meno della costante moltiplicativa, una serie armonica generalizzata che sappiamo essere convergente nel momento in cui l'esponente è maggiore di 1, ossia

1+2α−(α^2)/(5) > 1

Abbiamo ottenuto una disequazione di secondo grado equivalente a

5+10α−α^2 > 5 ⇒ α^2−10α < 0

Non ci resta che risolvere la disequazione per concludere che la serie

(1)/(2)Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^(1+2α−(α^2)/(5)))

converge se e solo se 0 < α < 10, dunque

Σ_(n = 1)^(+∞)n^((1)/(5)α^2−1)(1−cos(n^(−α)))

converge se e solo se 0 < α < 10.

Ringraziano: CarFaby, 123xyz
#95757
avt
123xyz
Punto

Grazie mille Ifrit!

Ringraziano: Ifrit
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