Sistema al variare di un parametro con 3 equazioni e 3 incognite

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Sistema al variare di un parametro con 3 equazioni e 3 incognite #95575

avt
BEST1
Punto
Un esercizio su un sistema lineare con parametro con 3 equazioni e 3 incognite: determinare i valori del parametro reale k per cui il seguente sistema ammette o meno soluzioni.

\begin{cases}(4-k)x-4z=k\\ (1-k)y+z=1\\ 4x+(1-k)z=1-k\end{cases}
 
 

Re: Sistema al variare di un parametro con 3 equazioni e 3 incognite #95596

avt
Galois
Amministratore
Dobbiamo determinare per quali valori reali del parametro k il seguente sistema lineare ammette soluzioni.

\begin{cases}(4-k)x-4z=k \\ (1-k)y+z=1 \\ 4x + (1-k)z=1-k\end{cases}

Scriviamo la matrice incompleta A e la matrice completa (A|b) associate al sistema

\\ A=\begin{pmatrix}4-k & 0 & -4 \\ 0 & 1-k & 1 \\ 4 & 0 & 1-k \end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b)=\begin{pmatrix}4-k & 0 & -4 & k \\ 0 & 1-k & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1-k & 1-k \end{pmatrix}

Indicando con rk(A) il rango della matrice A e con rk(A|b) il rango della matrice (A|b), per il teorema di Rouché Capelli:

- se rk(A)=rk(A|b)=3, allora il sistema ammette un'unica soluzione;

- se rk(A|b)>rk(A), allora il sistema non ammette soluzioni;

- se rk(A|b)=rk(A)<3, allora il sistema ammette \infty^{3-rk(A)} soluzioni.

In tutti e tre i casi il numero 3 indica il numero delle incognite del sistema dato.

Procediamo quindi col trovare il rango delle due matrici.

Cominciamo col calcolare il determinante della matrice

\\ A=\begin{pmatrix}4-k & 0 & -4 \\ 0 & 1-k & 1 \\ 4 & 0 & 1-k \end{pmatrix}

Si potrebbe procedere con la regola di Sarrus, ma è più conveniente procedere con la regola di Laplace, visto che la seconda colonna della matrice A presenta due zeri.

\\ \mbox{det}(A) = (1-k) \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}4-k & -4 \\ 4 & 1-k\end{pmatrix} = \\ \\ = (1-k) [(4-k)(1-k)+16]= \\ \\ = (1-k)(4-4k-k+k^2+16) = (1-k)(k^2-5k+20)

Abbiamo così trovato il determinate della matrice A

\mbox{det}(A)=(1-k)(k^2-5k+20)

Vediamo per quali valori di k tale determinante si annulla.

\mbox{det}(A) = 0 \iff (1-k)(k^2-5k+20) = 0

Per la legge di annullamento del prodotto:

\mbox{det}(A)=0 \iff (1-k)=0 \mbox{ oppure } k^2-5k+20=0

Ora:

\\ 1-k=0 \iff k=1

mentre

k^2-5k+20 = 0

è un'equazione di secondo grado il cui discriminante associato è minore di zero, infatti

\Delta = b^2-4ac = 25 - 4\cdot 20 = 25-80 = -55

Pertanto non esiste alcun valore reale del parametro k che soddisfa l'equazione k^2-5k+20=0.

Possiamo così concludere che

\mbox{det}(A) = 0 \iff k=1

Iniziamo a trarre le prime conclusioni:

per k \neq 1 il determinante della matrice A è diverso da 0, ragion per cui il suo rango è 3.

Essendo la matrice A una sottomatrice della matrice (A|b), per k \neq 1 anche il rango della matrice completa (A|b) è uguale a 3, pertanto per k\neq 1 il sistema è compatibile ed ammette un'unica soluzione.

Ci rimane da vedere cosa succede per k=1.

Per k=1 la matrice A e la matrice completa (A|b) assumono la seguente forma

\\ A=\begin{pmatrix}3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|b)=\begin{pmatrix}3 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è ovviamente nullo, quindi il suo rango è al più 2.

Il minore di ordine 2 della matrice A che si ottiene eliminando la seconda riga e la seconda colonna ha determinante diverso da zero

\mbox{det} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 16

Quindi, per k=1 il rango della matrice A è uguale a 2.

Calcoliamo il rango della matrice (A|b) che potrà essere, al più, uguale a 3. In particolare:

- è 3 se esiste un minore di ordine 3 avente determinante non nullo;

- è uguale a 2 se tutti i minori di ordine 3 della matrice A hanno determinante uguale a zero.

Osserviamo che gli elementi della seconda colonna della matrice (A|b) sono tutti nulli, pertanto ogni minore di ordine 3 contenente la seconda colonna avrà determinante uguale a zero.

Tale osservazione ci porta a considerare il minore di ordine 3 della matrice (A|b) che si ottiene eliminando la seconda colonna

\begin{pmatrix}3 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Il determinante di questa matrice è diverso da zero. Per calcolarlo è sufficiente applicare la regola di Laplace e sviluppare i calcoli rispetto alla terza riga, la quale presenta due zeri.

\\ \mbox{det}\begin{pmatrix}3 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 4 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-4 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 4 \cdot (-4-1) = -20

Avendo trovato un minore di ordine 3 della matrice (A|b) avente determinante diverso da zero, possiamo concludere che per k=1 il rango della matrice (A|b) è pari a 3.

Poiché per k=1

rk(A|b) = 3 \neq rk(A)=2

il sistema non ammette soluzioni.

Possiamo allora concludere che il sistema dato:

- per k \neq 1 è compatibile ed ammette un'unica soluzione;

- per k=1 non ha soluzione.

È tutto! emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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