Consideriamo il problema di Cauchy
in cui
è un'
equazione differenziale a variabili separabili.
In altri termini l'equazione si presenta nella forma
dove

è il prodotto di due funzioni

, la prima delle quali dipende esclusivamente dalla
variabile 
, mentre la seconda dipende esclusivamente dalla variabile

.
Nel caso in questione:

è una
funzione continua per ogni

, essa è infatti una
funzione costante;

è una
funzione derivabile con derivata continua per ogni

perché
composizione di funzioni derivabili con derivate continue.
Ai fini dell'esercizio è fondamentale calcolare il
dominio di

perché ci tornerà utile per rispondere al quesito (b).
Il dominio della funzione fratta
è dettato dalla condizione

questo perché dobbiamo richiedere che il denominatore della frazione sia differente da 0:
Per riassumere, possiamo asserire che la funzione
è definita nell'insieme
inoltre è continua rispetto ad

e
derivabile rispetto ad y con derivata continua rispetto a tale variabile. Teniamo a mente tali informazioni perché ci torneranno utili a breve.
Rispondiamo al quesito (a) e calcoliamo le soluzioni costanti associate all'equazione differenziale.
Tale punto si risolve agevolmente, è sufficiente infatti ricordare che le soluzioni costanti sono le funzioni

che soddisfano la condizione
Otteniamo pertanto un'
equazione fratta che è soddisfatta nel momento in cui il numeratore è nullo e il denominatore diverso da 0
da cui applicando ambo i membri la
funzione logaritmica otteniamo
In sostanza l'unica soluzione costante è:
Rispondiamo al punto (b). Non è necessario determinare la soluzione del problema di Cauchy, bisogna invece appoggiarsi al
teorema di esistenza e unicità di un problema di Cauchy le cui ipotesi sono abbondantemente soddisfatte (le abbiamo verificate prima).
Osserviamo che con le informazioni in nostro possesso possiamo dividere il piano cartesiano meno la retta di equazione

in tre parti
Poiché il problema di Cauchy soddisfa il teorema di esistenza e unicità e poiché la condizione iniziale
appartiene alla porzione di piano

allora la soluzione massimale

è costretta a stare nella striscia
e di conseguenza deve obbedire alla condizione

ossia
Notiamo che

non può oltrepassare la retta

perché ciò implicherebbe l'esistenza di qualche

tale che
valore per il quale l'equazione differenziale perde di significato.
La stessa soluzione massimale non può oltrepassare la retta di equazione

perché se così fosse, verrebbe violata l'unicità della soluzione, ossia andremmo contro il teorema di esistenza e unicità.