Problema di Cauchy con equazione differenziale contenente seno iperbolico

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Problema di Cauchy con equazione differenziale contenente seno iperbolico #95540

Boro

Punto

Mi servirebbe lo svolgimento di un problema di Cauchy in cui compare un seno iperbolico:

$\begin{cases}y'=\frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2}\\ y(0)=1\end{cases}$

(a) Si calcolino tutte le soluzioni costanti dell'equazione differenziale associata al P.d.C.

(b) Detta $y_{M}$ la soluzione massimale del P.d.C. si dimostri che $0<y_{M}<2$ per ogni

nell'insieme di definizione di $y_{M}$ .

Per il punto (a) oltre alla banale

non riesco a vedere altre soluzioni costanti, ce ne sono?

Per il punto (b) invece il problema riguarda proprio il calcolo dell'integrale, in quanto, dopo aver classificato l'equazione differenziale come risolvibile a variabili separabili, oltre al riscrivere la parte degli esponenziali come $-2\sinh(x)$ non riesco più ad andare avanti.

Grazie per l'aiuto,
Federico.

Re: Problema di Cauchy con equazione differenziale contenente seno iperbolico #95546

Ifrit

Ambasciatore

Consideriamo il problema di Cauchy

$\begin{cases}y'=\frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2} \\ y(0)=1\end{cases}$

in cui

$y'=\frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2}$

è un'equazione differenziale a variabili separabili.

In altri termini l'equazione si presenta nella forma

dove

è il prodotto di due funzioni $a(x) \ \mbox{e} \ b(y)$ , la prima delle quali dipende esclusivamente dalla variabile

, mentre la seconda dipende esclusivamente dalla variabile

.

Nel caso in questione:

$\bullet \ \ \ a(x)=1$ è una funzione continua per ogni $x\in\mathbb{R}$ , essa è infatti una funzione costante;

$\bullet \ \ \ b(y)=\frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2}$ è una funzione derivabile con derivata continua per ogni $y\in Dom(b)$ perché composizione di funzioni derivabili con derivate continue.

Ai fini dell'esercizio è fondamentale calcolare il dominio di

perché ci tornerà utile per rispondere al quesito (b).

Il dominio della funzione fratta

$b(y)=\frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2}$

è dettato dalla condizione $y-2\ne 0,$ questo perché dobbiamo richiedere che il denominatore della frazione sia differente da 0:

$y-2\ne0\implies y\ne 2$

Per riassumere, possiamo asserire che la funzione

è definita nell'insieme

$Dom(f)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ y\ne2\right\}$

inoltre è continua rispetto ad

e derivabile rispetto ad y con derivata continua rispetto a tale variabile. Teniamo a mente tali informazioni perché ci torneranno utili a breve.

Rispondiamo al quesito (a) e calcoliamo le soluzioni costanti associate all'equazione differenziale.

Tale punto si risolve agevolmente, è sufficiente infatti ricordare che le soluzioni costanti sono le funzioni

che soddisfano la condizione

$b(y)=0\iff \frac{e^{-y}-e^{y}}{y-2}=0$

Otteniamo pertanto un'equazione fratta che è soddisfatta nel momento in cui il numeratore è nullo e il denominatore diverso da 0

$e^{-y}-e^{y}=0\iff e^{-y}=e^{y}$

da cui applicando ambo i membri la funzione logaritmica otteniamo

$-y=y\implies -2y=0\implies y=0$

In sostanza l'unica soluzione costante è:

$y_{cost}(x)=0$

Rispondiamo al punto (b). Non è necessario determinare la soluzione del problema di Cauchy, bisogna invece appoggiarsi al teorema di esistenza e unicità di un problema di Cauchy le cui ipotesi sono abbondantemente soddisfatte (le abbiamo verificate prima).

Osserviamo che con le informazioni in nostro possesso possiamo dividere il piano cartesiano meno la retta di equazione

in tre parti

$\\ A_{1}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ x\in\mathbb{R}, \ y\ge2\right\} \\ \\ A_{2}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ x\in\mathbb{R}, \ 0<y<2\right\}\\ \\ A_{3}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ x\in\mathbb{R}, \ y<0\right\}$

Poiché il problema di Cauchy soddisfa il teorema di esistenza e unicità e poiché la condizione iniziale

appartiene alla porzione di piano $A_{2}$ allora la soluzione massimale $y_{M}(x)$ è costretta a stare nella striscia

$A_{2}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ : \ x\in\mathbb{R}, \ 0<y<2\right\}$

e di conseguenza deve obbedire alla condizione

ossia

$0<y_{M}(x)<2 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}$

Notiamo che $y_{M}(x)$ non può oltrepassare la retta

perché ciò implicherebbe l'esistenza di qualche $x_{0}\in\mathbb{R}$ tale che

$y_{M}(x_{0})=2$

valore per il quale l'equazione differenziale perde di significato.

La stessa soluzione massimale non può oltrepassare la retta di equazione

perché se così fosse, verrebbe violata l'unicità della soluzione, ossia andremmo contro il teorema di esistenza e unicità.

Ringraziano: Omega, CarFaby, Boro

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