Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno

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Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95466

avt
Boro
Punto
Ho seri problemi nell'affrontare lo studio degli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della seguente serie:

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^{2}(\arctan(|\sin x|))^{n}}{1+x^{4n}}

È corretto affermare che:

1) per tutti gli x=0+k\pi, k\in\mathbb{Z} la serie converge in quanto il termine generale è 0?

2) E che per tutti gli x=\frac{\pi}{2}+k\pi il termine generale si riduce a:

\frac{n^{2}(\frac{\pi}{4})^{n}}{1+(\frac{\pi}{2})^{4n}}?

Da qui posso utilizzare il criterio del rapporto e giungere alla conclusione:

\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2}(\frac{\pi}{4})^{n+1}}{1+(\frac{\pi}{2})^{4(n+1)}}\frac{1+(\frac{\pi}{2})^{4n}}{n^{2}(\frac{\pi}{4})^{n}}=[conti]=\frac{4}{\pi^{3}}

e quindi concludere che anche in questi punti la serie converge?

E per gli altri valori di x come la studio?

E per lo studio della convergenza uniforme?

Grazie per l'aiuto,

Federico.
 
 

Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95489

avt
Ifrit
Ambasciatore
Perdonaci per il ritardo della risposta ma abbiamo avuto problemi con il provider della connessione.

Premessa: le tue osservazioni sono pressoché corrette, ma inutili ai fini dello studio. Purtroppo devi studiare la convergenza puntuale al variare di x, non basta studiarli per dei valori fissati. :(

Consideriamo la serie di funzioni

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}

il cui termine n-esimo è

f_{n}(x)=\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}\ \ \ \mbox{con} \ x\in\mathbb{R}, n\ge 2

Dimostriamo che per ogni n\in\mathbb{N} la successione è non negativa osservando che il fattore n^2 è positivo mentre il fattore \arctan^n(|\sin(x)|) è non negativo.

Notiamo infatti che il valore assoluto della funzione seno infatti soddisfa la doppia disuguaglianza

0\le|\sin(x)|\le 1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

e, applicando ai tre membri la funzione arcotangente, i versi delle disuguaglianze non vengono intaccate

\arctan(0)\le\arctan(|\sin(x)|)\le \arctan(1)

Osserviamo che \arctan(0)=0 mentre \arctan(1)=\frac{\pi}{4} di conseguenza la doppia disuguaglianza diventa

0\le\arctan(|\sin(x)|)\le\frac{\pi}{4}

Elevando ad n i tre membri, la disuguaglianza non viene invertita perché la potenza n-esima è una funzione monotona strettamente crescente nel momento in cui la base è non negativa

0\le\arctan^n(|\sin(x)|)\le\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

Con le informazioni ottenute, possiamo asserire che il numeratore di f_{n}(x) è certamente non negativo, infatti soddisfa la relazione

0\le n^2\arctan^n\left(|\sin(x)|\right)\le n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

Per quanto concerne il denominatore, esso è somma di quantità positive e, in quanto tale, è a sua volta positivo. Inoltre esso soddisfa la disuguaglianza

1+x^{4n}\ge 1 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

perché x^{4n}\ge0\ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}.

In definitiva f_{n}(x) è non negativa perché quoziente tra una quantità non negativa ed una positiva.

Possiamo pensare di dimostrare la convergenza puntuale e uniforme dimostrando che la successione (f_{n}(x))_{n\in\mathbb{N}} è maggiorata da una successione (M_{n})_{n\in\mathbb{N}} di numeri reali positivi tali che

|f_n(x)|\le M_{n} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

e inoltre

\sum_{n}M_{n} \ \ \ \mbox{converge.}

Così facendo dimostriamo che la serie data è totalmente convergente in \mathbb{R} pertanto sarà sia uniformemente convergente che puntualmente convergente.

Nel caso in esame il valore assoluto della successione f_{n}(x) coincide con f_{n}(x) stessa perché non negativa

|f_n(x)|=\left|\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}\right|=\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}

inoltre abbiamo visto precedentemente che

1+x^{4n}\ge 1

da cui, passando ai reciproci e invertendo il verso otteniamo

\frac{1}{1+x^{4n}}\le 1

Moltiplicando ambo i membri per la quantità positiva n^2\arctan^n(|\sin(x)|) giungiamo alla disuguaglianza equivalente

\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}\le n^2\arctan^n\left(|\sin(x)|\right)\le n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^n

Le disuguaglianze e le maggiorazioni ci hanno permesso, dunque, di determinare la successione (M_{n})_{n}, basta infatti porre

M_{n}=n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

In accordo con la teoria delle serie di funzioni se la serie

\sum_{n=2}^{\infty}M_n=\sum_{n=2}^{\infty}n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

converge allora

\sum_{n=2}^{\infty}f_n(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}

converge totalmente su tutto l'asse reale e dunque abbiamo assicurata sia la convergenza uniforme in \mathbb{R} che la convergenza puntuale.

Studiamo dunque la serie numerica

\sum_{n=1}^{\infty}M_n=\sum_{n=1}^{\infty}n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

osservando che la condizione necessaria per la convergenza è chiaramente soddisfatta perché il seguente limite è 0

\\ \lim_{n\to+\infty}M_n=\lim_{n\to+\infty}n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}= \\ \\ \\ = \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{\left(\frac{4}{\pi}\right)^{n}}=0

Il risultato è nullo perché l'esponente al denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza.

Per accertarci della convergenza della serie numerica utilizziamo uno dei criteri di convergenza: ad esempio il criterio del rapporto.

Scriviamo dunque M_{n+1}

M_{n+1}=(n+1)^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}

e costruiamo il rapporto

\frac{M_{n+1}}{M_{n}}=\frac{(n+1)^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}}{n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}}=

che grazie alle proprietà delle potenze diventa

=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\frac{\pi}{4}

A questo punto non ci resta che calcolare il limite del rapporto

\lim_{n\to+\infty}\frac{M_{n+1}}{M_{n}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}

e concludere che la serie numerica

\sum_{n=2}^{\infty}M_n=\sum_{n=2}^{\infty}n^2\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}

converge perché il limite del rapporto è minore di 1.

In base alla teoria delle serie di funzioni possiamo concludere che:

\sum_{n=2}^{\infty}f_n(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2\arctan^n(|\sin(x)|)}{1+x^{4n}}

converge totalmente in \mathbb{R}, di conseguenza converge sia uniformemente che puntualmente in \mathbb{R}.

Ribadiamo, infatti, che la convergenza totale implica la convergenza uniforme che garantisce la convergenza puntuale.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Boro

Re: Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95491

avt
Boro
Punto
Nessun problema! Tutto chiaro come sempre, grazie ancora:) emt
Ringraziano: Ifrit
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Os