Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno

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Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95466

avt
Boro
Punto
Ho seri problemi nell'affrontare lo studio degli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della seguente serie:

Σ_(n = 2)^(∞)(n^(2)(arctan(|sin x|))^(n))/(1+x^(4n))

È corretto affermare che:

1) per tutti gli x = 0+kπ, k∈Z la serie converge in quanto il termine generale è 0?

2) E che per tutti gli x = (π)/(2)+kπ il termine generale si riduce a:

(n^(2)((π)/(4))^(n))/(1+((π)/(2))^(4n))?

Da qui posso utilizzare il criterio del rapporto e giungere alla conclusione:

lim_(n → ∞) ((n+1)^(2)((π)/(4))^(n+1))/(1+((π)/(2))^(4(n+1)))(1+((π)/(2))^(4n))/(n^(2)((π)/(4))^(n)) = [conti] = (4)/(π^(3))

e quindi concludere che anche in questi punti la serie converge?

E per gli altri valori di x come la studio?

E per lo studio della convergenza uniforme?

Grazie per l'aiuto,

Federico.
 
 

Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95489

avt
Ifrit
Amministratore
Perdonaci per il ritardo della risposta ma abbiamo avuto problemi con il provider della connessione.

Premessa: le tue osservazioni sono pressoché corrette, ma inutili ai fini dello studio. Purtroppo devi studiare la convergenza puntuale al variare di x, non basta studiarli per dei valori fissati. :(

Consideriamo la serie di funzioni

Σ_(n = 2)^(∞)(n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n))

il cui termine n-esimo è

f_(n)(x) = (n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n)) con x∈R, n ≥ 2

Dimostriamo che per ogni n∈N la successione è non negativa osservando che il fattore n^2 è positivo mentre il fattore arctan^n(|sin(x)|) è non negativo.

Notiamo infatti che il valore assoluto della funzione seno infatti soddisfa la doppia disuguaglianza

0 ≤ |sin(x)| ≤ 1 per ogni x∈R

e, applicando ai tre membri la funzione arcotangente, i versi delle disuguaglianze non vengono intaccate

arctan(0) ≤ arctan(|sin(x)|) ≤ arctan(1)

Osserviamo che arctan(0) = 0 mentre arctan(1) = (π)/(4) di conseguenza la doppia disuguaglianza diventa

0 ≤ arctan(|sin(x)|) ≤ (π)/(4)

Elevando ad n i tre membri, la disuguaglianza non viene invertita perché la potenza n-esima è una funzione monotona strettamente crescente nel momento in cui la base è non negativa

0 ≤ arctan^n(|sin(x)|) ≤ ((π)/(4))^(n)

Con le informazioni ottenute, possiamo asserire che il numeratore di f_(n)(x) è certamente non negativo, infatti soddisfa la relazione

0 ≤ n^2arctan^n(|sin(x)|) ≤ n^2((π)/(4))^(n)

Per quanto concerne il denominatore, esso è somma di quantità positive e, in quanto tale, è a sua volta positivo. Inoltre esso soddisfa la disuguaglianza

1+x^(4n) ≥ 1 ∀ x∈R

perché x^(4n) ≥ 0 per ogni x∈R.

In definitiva f_(n)(x) è non negativa perché quoziente tra una quantità non negativa ed una positiva.

Possiamo pensare di dimostrare la convergenza puntuale e uniforme dimostrando che la successione (f_(n)(x))_(n∈N) è maggiorata da una successione (M_(n))_(n∈N) di numeri reali positivi tali che

|f_n(x)| ≤ M_(n) per ogni n∈N

e inoltre

Σ_(n)M_(n) converge.

Così facendo dimostriamo che la serie data è totalmente convergente in R pertanto sarà sia uniformemente convergente che puntualmente convergente.

Nel caso in esame il valore assoluto della successione f_(n)(x) coincide con f_(n)(x) stessa perché non negativa

|f_n(x)| = |(n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n))| = (n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n))

inoltre abbiamo visto precedentemente che

1+x^(4n) ≥ 1

da cui, passando ai reciproci e invertendo il verso otteniamo

(1)/(1+x^(4n)) ≤ 1

Moltiplicando ambo i membri per la quantità positiva n^2arctan^n(|sin(x)|) giungiamo alla disuguaglianza equivalente

(n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n)) ≤ n^2arctan^n(|sin(x)|) ≤ n^2((π)/(4))^n

Le disuguaglianze e le maggiorazioni ci hanno permesso, dunque, di determinare la successione (M_(n))_(n), basta infatti porre

M_(n) = n^2((π)/(4))^(n)

In accordo con la teoria delle serie di funzioni se la serie

Σ_(n = 2)^(∞)M_n = Σ_(n = 2)^(∞)n^2((π)/(4))^(n)

converge allora

Σ_(n = 2)^(∞)f_n(x) = Σ_(n = 2)^(∞)(n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n))

converge totalmente su tutto l'asse reale e dunque abbiamo assicurata sia la convergenza uniforme in R che la convergenza puntuale.

Studiamo dunque la serie numerica

Σ_(n = 1)^(∞)M_n = Σ_(n = 1)^(∞)n^2((π)/(4))^(n)

osservando che la condizione necessaria per la convergenza è chiaramente soddisfatta perché il seguente limite è 0

lim_(n → +∞)M_n = lim_(n → +∞)n^2((π)/(4))^(n) = lim_(n → +∞)(n^2)/(((4)/(π))^(n)) = 0

Il risultato è nullo perché l'esponente al denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza.

Per accertarci della convergenza della serie numerica utilizziamo uno dei criteri di convergenza: ad esempio il criterio del rapporto.

Scriviamo dunque M_(n+1)

M_(n+1) = (n+1)^2((π)/(4))^(n+1)

e costruiamo il rapporto

(M_(n+1))/(M_(n)) = ((n+1)^(2)((π)/(4))^(n+1))/(n^2((π)/(4))^(n)) =

che grazie alle proprietà delle potenze diventa

= ((n+1)/(n))^2(π)/(4)

A questo punto non ci resta che calcolare il limite del rapporto

lim_(n → +∞)(M_(n+1))/(M_(n)) = lim_(n → +∞)((n+1)/(n))^(2)(π)/(4) = (π)/(4)

e concludere che la serie numerica

Σ_(n = 2)^(∞)M_n = Σ_(n = 2)^(∞)n^2((π)/(4))^(n)

converge perché il limite del rapporto è minore di 1.

In base alla teoria delle serie di funzioni possiamo concludere che:

Σ_(n = 2)^(∞)f_n(x) = Σ_(n = 2)^(∞)(n^2arctan^n(|sin(x)|))/(1+x^(4n))

converge totalmente in R, di conseguenza converge sia uniformemente che puntualmente in R.

Ribadiamo, infatti, che la convergenza totale implica la convergenza uniforme che garantisce la convergenza puntuale.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Boro

Re: Convergenza di una serie di funzioni con arcotangente e seno #95491

avt
Boro
Punto
Nessun problema! Tutto chiaro come sempre, grazie ancora:) emt
Ringraziano: Ifrit
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Os