Formula del rapporto incrementale per la derivabilità

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Formula del rapporto incrementale per la derivabilità #95409

avt
123xyz
Punto
Un esercizio chiede di determinare un parametro in modo che la funzione definita a tratti sia derivabile in un punto, e ho un dubbio sulla scelta della formula da usare per il rapporto incrementale.

f(x)=\begin{cases}-x^2+5x\mbox{ per }x>0\\ x^2+kx\mbox{ per }x\leq0\end{cases}\ \ \mbox{in }x_0=0

Sono giunto alla soluzione dell'esercizio (k=5), infatti il topic è riferito al seguente problema: ho notato che calcolando il limite del rapporto incrementale della funzione in x_0=0 da sinistra si ricavano due diversi risultati a seconda della formula utilizzata.

In particolare ho ottenuto k=0 usando la formula di calcolo con incremento "esplicito" sulle ordinate

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

mentre usando la formula alternativa dell'incremento, cioè

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

ho ottenuto semplicemente k che, ai fini risolutivi, deve valere necessariamente 5 per garantire la derivabilità della funzione in x_0=0).

La cosa mi lascia perplesso visto che, a meno di errori di calcolo, le due formule del rapporto incrementale dovrebbero essere assolutamente interscambiabili tra loro, giusto?

Grazie mille!
 
 

Formula del rapporto incrementale per la derivabilità #95413

avt
Omega
Amministratore
Vediamo di chiarire il tuo dubbio.

Per lo studio della derivabilità, come giustamente fai notare, bisogna fare sempre riferimento alla definizione e calcolare i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra, come spiegato nella lezione sulle funzioni derivabili.

Ti mostro come impostare l'esercizio dal primo all'ultimo passaggio. Consideriamo la funzione definita a tratti

f(x)=\begin{cases}-x^2+5x\mbox{ per }x>0\\ x^2+kx\mbox{ per }x\leq0\end{cases}

Innanzitutto osserviamo che i due rami sono funzioni polinomiali e dunque certamente derivabili sui rispettivi intervalli di definizione, a prescindere dal parametro k.

L'unico punto che merita un'indagine approfondita è il punto di raccordo x=0.

Dalla relazione tra continuità e derivabilità sappiamo che la continuità in un punto è una condizione necessaria per la derivabilità in quel punto, dunque cominciamo con lo studio della continuità in x_0=0.

Per avere la continuità in x_0=0 i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti e coincidere. Inoltre il loro comune valore deve coincidere con la valutazione della funzione nel punto.

\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2+kx)=0\\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(-x^2+5x)=0\\ \\ f(x_0)=f(0)=0^2+k\cdot 0=0

Attenzione alla scelta dei rami per i singoli limiti: di volta in volta dobbiamo fare riferimento al ramo di competenza a seconda che il limite vada calcolato da sinistra o da destra rispetto al punto.

Dai calcoli deduciamo che la funzione è continua in x_0=0 per ogni valore del parametro k\in\mathbb{R}.

Passiamo allo studio della derivabilità in x_0=0 e calcoliamo i limiti del rapporto incrementale. Dapprima proviamo con la formula che mette in evidenza gli incrementi e prestiamo attenzione nella scelta del corretto ramo di competenza

\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^-}\frac{h^2+kh-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}(h+k)=k\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^+}\frac{-h^2+5h-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}(-h+5)=5

Per avere la derivabilità i due limiti devono esistere finiti e devono presentare il medesimo valore (in caso contrario avremmo a che fare con un punto di non derivabilità), sicché la funzione è derivabile in x_0=0 se e solo se

k=5

Ora proviamo con la formula che non mette in evidenza gli incrementi:

\\ \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^-}\frac{x^2+kx-0}{x}=\lim_{x\to 0^-}(x+k)=k\\ \\ \\ \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2+5x-0}{x}=\lim_{x\to 0^+}(-x+5)=5

Da cui il medesimo risultato:

k=5

Com'era lecito aspettarsi, le due formule per il calcolo della derivata in un punto (o meglio le due formule per il limite del rapporto incrementale) sono del tutto equivalenti. A proposito: la lezione sul rapporto incrementale si occupa anche di questo aspetto. emt

Sospetto che tu abbia commesso qualche errore di distrazione/calcolo nel tuo svolgimento. :(
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, 123xyz

Re: Formula del rapporto incrementale per la derivabilità #95414

avt
123xyz
Punto
Grazie mille Omega!

Seguendo la tua dimostrazione ho capito da dove è nato l'errore (di calcolo!) il parametro, nel testo originario dell'esercizio, era indicato con h e non k per cui lo avevo confuso con l'incremento sulle ascisse e di conseguenza non tornavano i conti svolgendo il limite...

La prossima volta avrò cura di sostituire eventuali parametri già assegnati dal testo con lettere inequivocabili rispetto a quelle utilizzate nelle formule!

Re: Formula del rapporto incrementale per la derivabilità #95417

avt
Omega
Amministratore
Non a caso ho modificato la traccia dell'esercizio sostituendo h con k, e non solo: ho anche chiamato il punto x_0=0 in luogo di x=0.

Ricordati che nessuno ti vieta di rinominare parametri e variabili a tuo piacimento, purché lo svolgimento sia coerente in tutto e per tutto. Sono piccole accortezze che ti fanno lavorare più comodo e ti evitano spiacevoli errori. emt
Ringraziano: 123xyz
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Os