Esercizio sul gradiente di una funzione composta

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Esercizio sul gradiente di una funzione composta #95407

avt
Boro
Punto
Vi chiedo una mano per un esercizio sul gradiente di una funzione composta in due e tre variabili.

Sia f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione di classe C^1 con gradiente in (2,5) dato da

\nabla f(2,5)=(1,-2)

Sia g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 la funzione definita da

g(x,y,z)=(xyz,z^{2}+x^{2})

Calcolare il gradiente della funzione composta in (1,-1,-2)

\nabla(f\circ g)(1,-1,-2)
 
 

Re: Esercizio sul gradiente di una funzione composta #95410

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Boro,

scriviamo le ipotesi dell'esercizio. Consideriamo la funzione di due variabili

f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

continua con derivate parziali del primo ordine continue.

Sebbene non è nota la sua espressione analitica, il testo ci informa che il valore del gradiente valutato nel punto (2,5) coincide con il vettore (1,-2):

\nabla f(2,5)=(1,-2)

Consideriamo, inoltre, la funzione

g\ :\ \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2

definita come

g(x,y,z)=\left(xyz,z^2+x^2\right)

il nostro obiettivo è calcolare il gradiente della funzione composta

\nabla (g\circ f)(1,-1,-2)

senza conoscere l'espressione analitica di f.

Un modo per aggirare il problema consiste nell'utilizzare il seguente teorema:

siano

\bullet\ \ \ g\ : \ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m una funzione differenziabile;

\bullet\ \ \ f \ : \ \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R} una funzione differenziabile.

Allora possiamo costruire la funzione composta

f\circ g \ : \ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

il cui gradiente nel punto \mathbf{x}_{0}\in\mathbb{R}^n è dato dalla relazione

\nabla (f\circ g)(\mathbf{x}_0)=\nabla f(g(\mathbf{x}_{0}))\cdot Jg(\mathbf{x}_0)

dove

\bullet \ \ \ \nabla f(g(\mathbf{x}_{0})) è il gradiente della funzione f calcolato nella valutazione di g nel punto \mathbf{x}_{0}, \ g(\mathbf{x}_{0});

\bullet \ \ \ \ Jg(\mathbf{x}_0) è la matrice Jacobiana associata alla funzione g valutata nel punto \mathbf{x}_0.

Applichiamo le regole al caso in esame, osservando che \mathbf{x}_{0} coincide con

\mathbf{x}_{0}=(1,-1,-2)

Valutiamo la funzione g nel punto \mathbf{x}_{0}

g(\mathbf{x}_{0})=g(1,-1,-2)=\left(1\cdot (-1)\cdot (-2),(-2)^2+1^2\right)=(2,5)

La funzione g valutata in \mathbf{x}_{0} restituisce un vettore molto, molto interessante (e non è nemmeno casuale).

Calcoliamo la matrice Jacobiana associata alla funzione

g(x,y,z)=(g_1(x,y,z), g_2(x,y,z))

dove

g_1(x,y,z)=xyz \ \ \ ; \ \ \ g_2(x,y,z)=z^2+x^2

Jg=\begin{pmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial x}&\frac{\partial g_1}{\partial y}&\frac{\partial g_1}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial g_2}{\partial x}&\frac{\partial g_2}{\partial y}&\frac{\partial g_2}{\partial z} \end{pmatrix}

Determiniamo, dunque, le derivate parziali del primo ordine di g_1

\\ \frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y,z)= y z \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y,z)=x z\ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_1}{\partial z}(x,y,z)=xy

da cui deduciamo che

\\ \frac{\partial g_1}{\partial x}(1,-1,-2)= 2 \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_1}{\partial y}(1,-1,-2)=-2\ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_1}{\partial z}(1,-1,-2)=-1

e le derivate parziali della funzione g_2

\\ \frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y,z)= 2x \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y,z)=0\ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_2}{\partial z}(x,y,z)=2z

che valutate nel punto \mathbf{x}_{0}=(1,-1,-2) diventano


\\ \frac{\partial g_2}{\partial x}(1,-1,-2)= 2 \ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_2}{\partial y}(1,-1,-2)=0\ \ \ ; \ \ \ \frac{\partial g_2}{\partial z}(1,-1,-2)=-4

Con i valori ottenuti possiamo costruire la matrice Jacobiana associata a g valutata in \mathbf{x}_{0}

Jg(\mathbf{x}_{0})=\begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 2&0&-4\end{pmatrix}

Abbiamo a disposizione i valori per poter utilizzare la formula

\\ \nabla (f\circ g)(\mathbf{x}_0)=\nabla f(g(\mathbf{x}_{0}))\cdot Jg(\mathbf{x}_0)= \\ \\ \\ =\nabla f(2,5)\cdot \begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 2&0&-4\end{pmatrix}

In accordo con il testo dell'esercizio

\nabla f(2,5)=(1,-2)

di conseguenza il gradiente della funzione composta è dato dal seguente prodotto matriciale

\\ \nabla (f\circ g)(\mathbf{x}_0) =(1,-2)\cdot \begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 2&0&-4\end{pmatrix}=(-2, -2, 7)

Fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Boro

Re: Esercizio sul gradiente di una funzione composta #95412

avt
Boro
Punto
Perfetto! Tutto chiarissimo, grazie ancora!
Ringraziano: Ifrit
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Os