Cambiamento di base applicazione lineare da R^2 a R^3

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Cambiamento di base applicazione lineare da R^2 a R^3 #95339

avt
paimezzi
Cerchio
Ho difficoltà a svolgere questo esercizio sulla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari. Ho letto la vostra lezione a riguardo (molto utile) ma faccio fatica a svolgere dei cambiamenti di base quando entrano in gioco più di due basi.

Sia

B_2=\{v_1,v_2\}=\{(1,1),(1,0)\}

una base di \mathbb{R}^2 e sia C_3 la base canonica di \mathbb{R}^3.

Sia f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare associata, rispetto alla base B_2 del dominio e alla base C_3 del codominio, alla matrice

\left[\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 0\end{matrix}\right]

Determinare la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base canonica C_2 di \mathbb{R}^2 e alla base B_3 di \mathbb{R}^3

B_3=\{w_1,w_2,w_3\}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}

Grazie
 
 

Re: Cambiamento di base applicazione lineare da R^2 a R^3 #95343

avt
Omega
Amministratore
Ciao Paimezzi,

i nomi delle basi proposti dalla traccia erano alquanto orribili e passibili di inutili fraintendimenti, per cui ho adottato notazioni migliori. A te il successivo compito di riadattarle alle notazioni originarie. emt

L'esercizio è semplice a patto di aver compreso a fondo la logica della formula del cambiamento di base, che nella lezione si riferisce agli endomorfismi ma che può essere comodamente adattata al caso di applicazioni lineari qualsiasi.

Inizialmente abbiamo un'applicazione lineare definita dalla matrice

A_{f}=\left[\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 0\end{matrix}\right]

dunque f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3. Le coordinate si riferiscono a specifiche basi di dominio e codominio:

\\ \mathbb{R}^2:\mbox{ base }B_2=\{v_1,v_2\}=\{(1,1),(1,0)\}\\ \\ \mathbb{R}^3:\mbox{ base }C_3=\{e^3_1,e^3_2,e^3_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

Noi vogliamo individuare la matrice \tilde{A}_f che rappresenta l'applicazione lineare f rispetto a due nuove basi di dominio e codominio:

\\ \mathbb{R}^2:\mbox{ base }C_2=\{e^2_1,e^2_2\}=\{(1,0),(0,1)\}\\ \\ \mathbb{R}^3:\mbox{ base }B_3=\{w_1,w_2,w_3\}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}

La logica per individuarla ruota intorno a:

- la definizione di applicazione lineare definita da una matrice, secondo cui l'immagine associata a una preimmagine si ottiene mediante l'usuale prodotto riga per colonna;

- la definizione di matrice di cambiamento di base, che definisce un endomorfismo di uno spazio vettoriale modificando le coordinate da una base a un'altra;

- la correlazione tra il prodotto tra matrici rappresentative e la composizione di applicazioni lineari.

Useremo la solita notazione per le matrici di cambiamento di base:

M^{\mbox{base di partenza}}_{\mbox{base di arrivo}}

Per ricavare la matrice rappresentativa di f rispetto alle nuove basi osserviamo che:

- dobbiamo partire da \mathbb{R}^2 rispetto alla base C_2;

- dobbiamo trasformare le coordinate riferite a C_2 in coordinate riferite a B_2

- a questo punto dobbiamo applicare A_f, passando quindi da \mathbb{R}^2 riferito a B_2 a \mathbb{R}_3 riferito a C_3

- dobbiamo trasformare le coordinate riferite a C_3 in coordinate riferite a B_3

In una formula

\tilde{A}_f=M^{C_3}_{B_3}A_fM^{C_2}_{B_2}

Il prodotto, letto da destra a sinistra, equivale a comporre tre applicazioni lineari

\mathbb{R}^2\overbrace{\to}^{C_2\to B_2}\mathbb{R}^2\overbrace{\to}^{B_2\to C_3}\mathbb{R}^3\overbrace{\to}^{C_3\to B_3}\mathbb{R}^3

Nota che dobbiamo partire dalla base C_2 e arrivare alla base B_3 perché ci interessa la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi C_2,B_3 di dominio e codominio.

Il problema si riduce quindi a saper calcolare le matrici di cambiamento di base.


MATRICE DI CAMBIAMENTO DI BASE C_2\to B_2

Quando c'è di mezzo la base canonica sappiamo che la matrice di cambiamento di base B_2\to C_2 si ottiene disponendo per colonna le coordinate di B_2 (che si intendono come coordinate riferite alla base canonica)

M^{B_2}_{C_2}=\left[\begin{matrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{matrix}\right]

La matrice che ci interessa è la matrice del cambiamento di base inverso, la quale coincide con la matrice inversa di quella appena scritta

M^{C_2}_{B_2}=(M^{B_2}_{C_2})^{-1}=\left[\begin{matrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{matrix}\right]

Volendo avremmo potuto ricavare la matrice richiesta con il solito metodo delle coordinate: per la matrice C_2\to B_2 esprimiamo i vettori della base C_2 rispetto ai vettori della base B_2

\\ (1,0)=m_{11}(1,1)+m_{12}(1,0)\\ \\ (0,1)=m_{21}(1,1)+m_{22}(1,0)

Per poi risolvere i due corrispondenti sistemi lineari e disporre i coefficienti per colonna in una matrice

M^{B_2}_{C_2}=\left[\begin{matrix}m_{11} & m_{21}\\ m_{12} & m_{22}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{matrix}\right]


MATRICE DI CAMBIAMENTO DI BASE C_3\to B_3

Procediamo come nel caso precedente. Se disponiamo le coordinate dei vettori di B_3 per colonna in una matrice otteniamo M^{B_3}_{C_3}

M^{B_3}_{C_3}=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]

La matrice inversa è quella che ci serve

M^{C_3}_{B_3}=(M^{B_3}_{C_3})^{-1}=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]

Con il solito metodo per la matrice C_3\to B_3 esprimiamo i vettori della base C_3 rispetto ai vettori della base B_3

\\ (1,0,0)=m_{11}(1,1,1)+m_{12}(1,1,0)+m_{13}(1,0,0)\\ \\ (0,1,0)=m_{21}(1,1,1)+m_{22}(1,1,0)+m_{23}(1,0,0)\\ \\ (0,0,1)=m_{31}(1,1,1)+m_{32}(1,1,0)+m_{33}(1,0,0)

da cui si giunge al risultato con semplici calcoli. Non dimenticare che i coefficienti vanno disposti per colonna:

M^{C_3}_{B_3}=\left[\begin{matrix}m_{11} & m_{21} & m_{31}\\ m_{12} & m_{22} & m_{32}\\ m_{13} & m_{23} & m_{33}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]


MATRICE DELL'APPLICAZIONE LINEARE RISPETTO ALLE NUOVE BASI

Non dobbiamo fare altro che applicare la formula:

\\ \tilde{A}_f=M^{C_3}_{B_3}A_fM^{C_2}_{B_2}\\ \\ \\ =\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{matrix}\right]

I conti li lascio a te e mi limito a riportare il risultato emt

\tilde{A}_f=\left[\begin{matrix} 0 & 3 \\ 2 & -2 \\ 2 & -4\end{matrix}\right]
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, paimezzi

Re: Cambiamento di base applicazione lineare da R^2 a R^3 #95344

avt
paimezzi
Cerchio
Grazie Omega, spiegazione chiarissima.

A proposito della tua affermazione:

- la definizione di matrice di cambiamento di base, che definisce un endomorfismo di uno spazio vettoriale modificando le coordinate da una base a un'altra;

ti chiedo una conferma: il cambiamento di base può essere fatto (essendo un endomorfismo) fra due basi di spazi vettoriali identici giusto? Mi spiego meglio, il cambiamento di base viene fatto da C_2 a B_2 e da C_3 a B_3 perché basi di due spazi vettoriali identici e, da quello che ho capito, non è possibile farlo da C_2 a C_3, Giusto?

Infatti è l'applicazione lineare f a "mettere in relazione" i due spazi vettoriali.


Ah probabilmente ho editato il testo mentre stavi già risolvendo l'esercizio, perché la matrice è diversa (scusa).

Re: Cambiamento di base applicazione lineare da R^2 a R^3 #95345

avt
Omega
Amministratore
Esatto, non a caso si dice che un cambiamento di base è un endomorfismo, ossia un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale V in sé: V\to V.

Dato uno spazio vettoriale V dotato di una base B, i vettori si esprimono in coordinate rispetto a tale base.

Applicando un cambiamento di base, necessariamente definito da V a V, ogni vettore viene mandato in un nuovo vettore di V con coordinate espresse rispetto alla nuova base.

Nota: se la matrice è l'unico dato che hai modificato basta ripetere il prodotto finale. emt
Ringraziano: CarFaby, paimezzi
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Os