Differenziabilità di una funzione con radice e modulo

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Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95323

avt
april
Punto
Vorrei sapere come studiare la differenziabilità di questa funzione con radice e valore assoluto del prodotto xy:

f(x,y)=\sqrt{|xy|}

Stabilire se essa è differenziabile in \mathbb{R}^2.

Suggerimento del testo: utilizzare le coordinate polari per lo studio.

Grazie mille!
 
 

Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95326

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao April,

dobbiamo studiare la differenziabilità della funzione di due variabili

f(x,y)=\sqrt{|x y|}

il cui dominio è Dom(f)=\mathbb{R}^2.

Per facilitare l'analisi, espandiamo il valore assoluto studiando il segno del suo argomento

xy\ge 0

Il prodotto di due fattori è non negativo nel momento in cui i due fattori sono concordi, o detto in altri termini, hanno lo stesso segno, pertanto

xy\ge 0\iff (x\ge 0\wedge y\ge 0)\vee(x<0\wedge y<0)

dove il simbolo:

\bullet \ \ \ \wedge indica la congiunzione et;

\bullet \ \ \ \vee indica la disgiunzione inclusiva or.

Osserviamo che

x\ge 0\wedge y\ge 0

individua l'insieme dei punti del piano che giacciono nel primo quadrante, mentre

x<0\wedge y<0

individua l'insieme dei punti del piano che giacciono nel terzo quadrante.

In accordo con la definizione di valore assoluto, la funzione f(x,y) diventa

f(x,y)=\begin{cases}\sqrt{x y}&\mbox{se}\ (x\ge 0\wedge y\ge 0)\vee(x<0\wedge y<0)\\ \\ \sqrt{-xy}&\mbox{se}\ (x<0\wedge y>0)\vee (x>0\wedge y<0)\end{cases}

Abbiamo espresso f(x,y) per rami e i suoi punti di raccordo, ossia i punti in cui avviene il cambio dell'espressione analitica, appartengono agli assi coordinati di equazione

x=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=0

Per tutti (x,y)\in\mathbb{R}^2 che non appartengono agli assi la funzione f(x,y) in quanto le derivate parziali del primo ordine sono continue.

Nei punti diversi da quelli di raccordo, infatti, la derivata parziale rispetto ad x vale:

f_{x}(x,y)=\begin{cases}\frac{y}{2\sqrt{x y}}&\mbox{se} \ (x> 0\wedge y> 0)\vee(x<0\wedge y<0)\\ \\ -\frac{y}{2\sqrt{-x y}}&\mbox{se} \ (x<0\wedge y>0)\vee (x>0\wedge y<0)\end{cases}

mentre la derivata parziale rispetto ad y vale

f_{y}(x,y)=\begin{cases}\frac{x}{2\sqrt{x y}}&\mbox{se} \ (x> 0\wedge y> 0)\vee(x<0\wedge y<0)\\ \\ -\frac{x}{2\sqrt{-x y}}&\mbox{se}\ (x<0\wedge y>0)\vee (x>0\wedge y<0)\end{cases}

Per approfondire - come si calcolano le derivate parziali.

Ribadiamo che f_{x}(x,y)\ \mbox{e} \ f_{y}(x,y) sono funzioni continue in tutti i punti che non sono di raccordo per f(x,y). Possiamo giustificare la loro continuità invocando il teorema sulla continuità delle funzioni composte.

Sotto tale ipotesi, il teorema del differenziale totale garantisce la differenziabilità in tutti i punti che non sono di raccordo.

Non abbiamo terminato! Dobbiamo analizzare cosa succede nei punti di raccordo, che si presentano in una delle due forme:

(x_0, 0) \ \ \ \mbox{con} \ x_0\in\mathbb{R}

sono i punti che giacciono sull'asse delle ascisse, mentre

(0,y_0) \ \ \ \mbox{con} \ y_0\in\mathbb{R}

sono i punti che giacciono sull'asse delle ordinate.

Studiamo la derivabilità (attenzione, non differenziabilità) nei punti (x_0,0) utilizzando la definizione di derivata parziale.

f(x,y) è derivabile rispetto ad x nel punto (x_0,0) se e solo se esiste finito il limite

f_{x}(x_0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h, 0)-f(x_0,0)}{h}

dove:

\\ f(x_0+h,0)=\sqrt{|(x_0+h)\cdot 0|}=0 \\ \\ \\ f(x_0,0)=\sqrt{|x_0\cdot 0|}=0

di conseguenza sostituendo nel limite otteniamo

f_{x}(x_0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0

pertanto la funzione f(x,y) è derivabile rispetto ad x in ogni punto del tipo (x_0,0) e la derivata parziale in tale punto vale 0.

Studiamo la derivabilità rispetto ad y nel punto (x_0, 0) impostando il limite

f_{y}(x_0, 0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x_0, k)-f(x_0,0)}{k}

dove

\\ f(x_0, k)=\sqrt{|x_0\cdot k|} \\ \\ f(x_0,0)=0

pertanto rimpiazzando nel limite otteniamo

f_{y}(x_0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{|x_0\cdot k|}}{k}=(\bullet)

Osserviamo che se x_0=0 allora il limite è nullo e dunque f(x,y) è derivabile rispetto ad y nel punto (0,0) e la sua derivata è 0

f_{y}(0,0)=0

Se x_0\ne 0 allora il limite (\bullet) non esiste.

Mostriamolo utilizzando le proprietà del valore assoluto e delle radici

\\ (\bullet)=\lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{|x_0\cdot k|}}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{|x_0|\cdot |k|}}{k}= \\ \\ \\ = \lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{|x_0|}\sqrt{|k|}}{k}=

Scriviamo la radice quadrata sotto forma di potenza con esponente fratto

=\lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{|x_0|} |k|^{\frac{1}{2}}}{k}

La presenza del valore assoluto impone lo studio dei limiti destro e sinistro.

Partiamo dal limite destro. Poiché k\to 0 per valori positivi il limite diventa

\lim_{k\to 0^{+}}\frac{\sqrt{|x_0|}k^{\frac{1}{2}}}{k}=\lim_{k\to0^{+}}\frac{\sqrt{|x_0|}}{k^{\frac{1}{2}}}=+\infty

Ottimo! Poiché il limite non è finito allora certamente la funzione f(x,y) non è derivabile rispetto ad y nei punti (x_0,0) con x_0\ne0, pertanto non può essere nemmeno differenziabile perché viene meno una condizione necessaria.

Dobbiamo studiare a parte il punto (0,0) per il quale f(x,y) è derivabile sia rispetto ad x che rispetto ad y e con derivate:

f_{x}(0,0)=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ f_{y}(0,0)=0

Siamo autorizzati a costruire il limite che permette lo studio della differenziabilità.

Ricordiamo infatti che f(x,y) è differenziabile in (x_0,y_0)\in Dom(f) se e solo se il seguente limite è 0

\lim_{(h, k)\to 0}\frac{f(x_0+h, y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_{x}(x_0,y_0)h-f_{y}(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0

Nel caso in esame (x_0,y_0)=(0,0) di conseguenza

f(0+h, 0+k)=\sqrt{|h\cdot k|}

e inoltre

f(0,0)=f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0

Alla luce dei valori ottenuti, il limite si esprime come

\lim_{(h, k)\to (0,0)}\frac{\sqrt{|h\cdot k|}}{\sqrt{h^2+k^2}}

In realtà possiamo dimostrare che questo limite non è 0 senza coinvolgere le coordinate polari.

È sufficiente considerare la restrizione

h=k

lungo la quale il limite vale \frac{1}{\sqrt{2}}, infatti:

\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{|h^2|}}{\sqrt{2h^2}}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^2}}{\sqrt{2}\sqrt{h^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0

Poiché il limite non è 0 concludiamo che la funzione non è nemmeno differenziabile in (0,0).


In teoria dovremmo ripercorrere lo studio per i punti (0, y_0) ma è un'inutile perdita di tempo giacché ripeteremmo gli stessi passaggi, giungendo alle stesse conclusioni.

Un modo elegante per portare a termine l'esercizio consiste nell'osservare che

f(x,y)=f(y,x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ (x, y)\in Dom(f)

pertanto, poiché la funzione non è differenziabile in alcun punto del tipo (x_0,0), essa non potrà essere differenziabile in alcun punto del tipo (0,x_0) per simmetria.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95352

avt
april
Punto
Grazie mille, tutto molti chiaro eccetto per il calcolo delle derivate parziali.

Ad esempio nella derivata parziale rispetto ad x a me verrebbe:

f_x=\frac{\sqrt{|xy|}}{2x}

quindi la funzione mi viene invertita.

Per derivare il modulo ho utilizzato la formula di derivazione del modulo:

\frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}

Non capisco proprio dove sbaglio.

Re: Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95369

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao April,

puoi utilizzare le regole di derivazione standard per ottenere le derivate parziali della funzione

f(x,y)=\sqrt{|x y|}

In accordo con la regola di derivazione delle funzioni composte e con la formula della derivata di una radice, scriviamo

\\ \frac{\partial}{\partial x}[f(x,y)]=\frac{\partial}{\partial x}[\sqrt{|xy|}]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt1{|xy|}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}[|xy|]=

Calcoliamo la derivata del valore assoluto

=\frac{1}{2\sqrt{|xy|}}\cdot\frac{|xy|}{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}[xy]=\frac{1}{2\sqrt{|x y|}}\cdot\frac{|xy|}{xy}\cdot y=

e razionalizziamo moltiplicando e dividendo per \sqrt{|x y|}

=\frac{1}{2\sqrt{|xy|}}\cdot\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{|xy|}}\cdot\frac{|xy|}{xy}\cdot y=\frac{\sqrt{|x y|}}{2|xy|}\cdot\frac{|xy|}{xy}\cdot y=

Semplifichiamo ed otteniamo la derivata parziale rispetto ad x

=\frac{\sqrt{|xy|}}{2x}

Ti faccio notare che il risultato ottenuto è equivalente al mio, infatti è sufficiente razionalizzare il numeratore

\\ f_{x}(x,y)=\frac{\sqrt{|xy|}}{2x}=\frac{\sqrt{|xy|}\cdot\sqrt{|xy|}}{2x\sqrt{|xy|}}=\\ \\ \\ =\frac{|x y|}{2x\sqrt{|x y|}}

e utilizzare la definizione di valore assoluto.

Se x y>0 allora

f_{x}(x,y)=\frac{xy}{2x\sqrt{x y}}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}

mentre se xy<0

f_{x}(x,y)=\frac{-xy}{2x\sqrt{-xy}}=-\frac{y}{2\sqrt{-xy}}

Personalmente preferisco derivare la funzione definita per casi, nella espressione della quale non compare il valore assoluto. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95374

avt
april
Punto
Ok, grazie mille! Sicuramente più chiaro rispetto a come l'avevo svolta io...

Io dopo aver trovato la derivata parziale rispetto ad x

f_x=\frac{\sqrt{|xy|}}{2x}

deducevo che la funzione derivata parziale è continua in tutto \mathbb{R}^2-\{(0,y)\} e allo stesso modo per la derivata parziale rispetto ad y

f_y=\frac{\sqrt{|xy|}}{2y}

la funzione derivata era continua in tutto \mathbb{R}^2-\{(x,0)\}, quindi per il teorema del differenziale totale avrei affermato che la funzione è differenziabile per tutto l 'intervallo in cui la funzione è continua eccetto per i punti sopramenzionati.

Restava poi da capire se fosse differenziabile o meno in (0,0).

È sbagliato il ragionamento?

Re: Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95376

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il teorema del differenziale totale garantisce la differenziabilità di una funzione f(x,y) nei punti in cui f_{x}(x,y)\ \mbox{e}\ f_{y}(x,y) sono continue.

Lo stesso teorema, però, non fornisce informazioni nei punti in cui le derivate parziali del primo ordine non sono continue. Per lo studio della differenziabilità in tali punti sarai costretta a usare le definizioni.

Ti faccio presente che oltre al punto (0,0) dovrai analizzare anche i punti (x_0,0) e (0,y_0) con x_0 \ \mbox{e} \ y_0\in\mathbb{R}.
Ringraziano: CarFaby

Re: Differenziabilità di una funzione con radice e modulo #95378

avt
april
Punto
Ok perfetto, ero convinta che il differenziale totale mi potesse fare escludere a priori quei punti sopracitati per passare direttamente a studiare la differenziabilità in (0,0), ma evidentemente mi sbagliavo.

Grazie!
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Os