Superate le vacanze pasquali, eccoci qui.
L'unica vera difficoltà dell'esercizio riguarda l'interpretazione della traccia e la corretta impostazione dello svolgimento. Fatto ciò la risoluzione si ridurrà a puri e semplici calcoli.
Riepiloghiamo la situazione. Abbiamo:
- lo
spazio vettoriale delle
applicazioni lineari
dove
![\mathbb{R}_2[x]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJwATAIQAAP///wAAALCwsICAgMDAwODg4GBgYCAgIFBQUEBAQNDQ0PDw8JCQkDAwMHBwcKCgoBAQEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAnABMAAAXfICCOZGkCSpI85+iowiDPA9GWxHCXSTEYhAOBgFApdoAccpRI6pqixKK3Uy4BTSUUCxAwqrpr9sl0gq9cLXOBKJxHCgJjEf9GzY1Y4pCwvbtHQQQCAW5pOgcGBjJXVgBhDwcAdGVqCAqXJAwMigsjjiOKJmNcU6YiDywADg6fYSQHqiSkUAIOmCIxuVugAAWFuZVkIg4EDwYlBgKuuRAADwG5R1EMB3wBCUdTCRANI6kkVgpAXgJDs2hdy4ZmYmgC060ivTdbO4QB+a/0Lfbpn0DYnYjj7V8JHzV2PJARAgA7)
indica lo spazio vettoriale dei
polinomi a coefficienti reali di grado al più 2, vale a dire della forma
dove

sono coefficienti reali.
- Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari
- Un'applicazione lineare

che manda i polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 nei reali, definita in modo da associare ad ogni polinomio la sua
derivata valutata in
- L'applicazione lineare

che manda le applicazioni lineari di

nelle applicazioni lineari di

, e che è definita mediante composizione
dove

è un'applicazione lineare di

e dunque per definizione deve associare ad un polinomio di
![\mathbb{R}_2[x]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJwATAIQAAP///wAAALCwsICAgMDAwODg4GBgYCAgIFBQUEBAQNDQ0PDw8JCQkDAwMHBwcKCgoBAQEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAnABMAAAXfICCOZGkCSpI85+iowiDPA9GWxHCXSTEYhAOBgFApdoAccpRI6pqixKK3Uy4BTSUUCxAwqrpr9sl0gq9cLXOBKJxHCgJjEf9GzY1Y4pCwvbtHQQQCAW5pOgcGBjJXVgBhDwcAdGVqCAqXJAwMigsjjiOKJmNcU6YiDywADg6fYSQHqiSkUAIOmCIxuVugAAWFuZVkIg4EDwYlBgKuuRAADwG5R1EMB3wBCUdTCRANI6kkVgpAXgJDs2hdy4ZmYmgC060ivTdbO4QB+a/0Lfbpn0DYnYjj7V8JHzV2PJARAgA7)
un numero reale.
Scopo del gioco: determinare il
nucleo dell'applicazione lineare 
, che ovviamente è un
sottospazio vettoriale di
A parole: il nucleo di

è il sottospazio vettoriale delle applicazioni lineari di

che vengono mandate nell'applicazione lineare nulla di

, ossia in

.
Dobbiamo quindi individuare tutte e sole le applicazioni lineari

tali per cui
o, equivalentemente
Procediamo. Innanzitutto dobbiamo ricordare che lo spazio vettoriale
![\mathbb{R}_2[x]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJwATAIQAAP///wAAALCwsICAgMDAwODg4GBgYCAgIFBQUEBAQNDQ0PDw8JCQkDAwMHBwcKCgoBAQEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAnABMAAAXfICCOZGkCSpI85+iowiDPA9GWxHCXSTEYhAOBgFApdoAccpRI6pqixKK3Uy4BTSUUCxAwqrpr9sl0gq9cLXOBKJxHCgJjEf9GzY1Y4pCwvbtHQQQCAW5pOgcGBjJXVgBhDwcAdGVqCAqXJAwMigsjjiOKJmNcU6YiDywADg6fYSQHqiSkUAIOmCIxuVugAAWFuZVkIg4EDwYlBgKuuRAADwG5R1EMB3wBCUdTCRANI6kkVgpAXgJDs2hdy4ZmYmgC060ivTdbO4QB+a/0Lfbpn0DYnYjj7V8JHzV2PJARAgA7)
dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 può essere identificato, mediante un opportuno
isomorfismo, con

.
Se fissiamo come
base di
e consideriamo come base di

la base canonica, allora possiamo considerare l'isomorfismo
In questo modo possiamo ridurci a lavorare con lo spazio degli
endomorfismi
Le applicazioni lineari di tale spazio possono essere individuati mediante le
matrici rappresentative a coefficienti reali
Con un ragionamento analogo possiamo lavorare considerando
e descrivere le applicazioni lineari mediante le matrici rappresentative della forma
in modo che il
prodotto riga per colonna con un vettore a tre entrate restituisca un numero reale (equivalente del
prodotto scalare).
Possiamo inoltre dare un volto all'applicazione lineare

. Poiché
e poiché
ne consegue che
ossia
Individuare la matrice associata a tale applicazione lineare è semplicissimo: basta impostare il prodotto riga per colonna
da cui la matrice rappresentativa di
Ci siamo quasi: per individuare gli elementi del nucleo di

non dobbiamo fare altro che considerare la condizione
o meglio
e ricordare la corrispondenza tra composizione e prodotto tra matrici rappresentative, prestando attenzione all'ordine (prima

e poi

)
Facendo i conti otteniamo
Il risultato è una matrice rappresentativa di un'applicazione lineare
![\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}](data:image/gif;base64,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)
, cioè di un'applicazione lineare di

, come previsto.
Noi vogliamo che tale applicazione lineare sia identicamente nulla, quindi traduciamo la condizione in un opportuno
sistema lineare
da cui
In definitiva tutti e soli gli elementi del nucleo di

sono rappresentati dalle matrici della forma
e avendo 6 entrate libere su 9 a disposizione, concludiamo che la
dimensione del nucleo di

è 6
