Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi

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Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94581

avt
Slapp
Punto
Non riesco a capire come risolvere questo esercizio sul nucleo di un'applicazione lineare tra spazi di applicazioni lineari.

Si considerino lo spazio vettoriale V_1 costituito da tutte le applicazioni lineari da \mathbb{R}_2[x] in \mathbb{R}_2[x] e lo spazio vettoriale V_2 delle applicazioni lineari da \mathbb{R}_2[x] in \mathbb{R}. Si consideri inoltre l'applicazione lineare \Phi:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R} in V_2 tale che

\Phi:p(x)\to p'(1)

dove p'(x) denota la derivata prima del polinomio p(x).

Determinare la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare \Psi:V_1\to V_2 tale che \Psi  (F):=\Phi\circ F

Grazie a chiunque saprà aiutarmi!
 
 

Re: Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94612

avt
Omega
Amministratore
Superate le vacanze pasquali, eccoci qui. emt

L'unica vera difficoltà dell'esercizio riguarda l'interpretazione della traccia e la corretta impostazione dello svolgimento. Fatto ciò la risoluzione si ridurrà a puri e semplici calcoli.

Riepiloghiamo la situazione. Abbiamo:

- lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari \mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_2[x]

V_1:=\{F\mbox{ t.c. }F:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_2[x]\}

dove \mathbb{R}_2[x] indica lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2, vale a dire della forma

p(x)=a+bx+cx^2

dove a,b,c\in\mathbb{R} sono coefficienti reali.

- Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari \mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}

V_2:=\{G\mbox{ t.c. }F:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}\}

- Un'applicazione lineare \Phi\in V_2 che manda i polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 nei reali, definita in modo da associare ad ogni polinomio la sua derivata valutata in x=1

\\ \Phi\in V_2\ \ \ ;\ \ \ \Phi:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}\\ \\ \Phi(p(x))=p'(1)

- L'applicazione lineare \Psi che manda le applicazioni lineari di V_1 nelle applicazioni lineari di V_2, e che è definita mediante composizione

\Psi:V_1\to V_2\ \ \ ;\ \ \ \Psi(F)=\Phi\circ F

dove \Phi\circ F è un'applicazione lineare di V_2 e dunque per definizione deve associare ad un polinomio di \mathbb{R}_2[x] un numero reale.

Scopo del gioco: determinare il nucleo dell'applicazione lineare \Psi, che ovviamente è un sottospazio vettoriale di V_1

\\ Ker(\Psi)\subseteq V_1\\ \\ Ker(\Psi)=\{F\in V_1\mbox{ t.c. }\Psi(F)=\underline{0}\}

A parole: il nucleo di \Psi è il sottospazio vettoriale delle applicazioni lineari di V_1 che vengono mandate nell'applicazione lineare nulla di V_2, ossia in \underline{0}\in V_2.

Dobbiamo quindi individuare tutte e sole le applicazioni lineari F \in V_1 tali per cui

\Psi(F)= \underline{0}

o, equivalentemente

\Phi\circ F=\underline{0}

Procediamo.

Innanzitutto dobbiamo ricordare che lo spazio vettoriale \mathbb{R}_2[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 può essere identificato, mediante un opportuno isomorfismo, con \mathbb{R}^3.

Se fissiamo come base di \mathbb{R}_2[x]

\{1,x,x^2\}

e consideriamo come base di \mathbb{R}^3 la base canonica, allora possiamo considerare l'isomorfismo

\mathbb{R}_2[x]\simeq \mathbb{R}^3\ \ ;\ \ a+bx+c^2 \to\left[\begin{matrix}a\\ b\\ c\end{matrix}\right]

In questo modo possiamo ridurci a lavorare con lo spazio degli endomorfismi \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3

\tilde{V}_1:=\{\tilde{F}\mbox{ t.c. }\tilde{F}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\}

Le applicazioni lineari di tale spazio possono essere individuati mediante le matrici rappresentative a coefficienti reali

\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]

Con un ragionamento analogo possiamo lavorare considerando

\tilde{V}_2:=\{\tilde{G}\mbox{ t.c. }\tilde{G}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\}

e descrivere le applicazioni lineari mediante le matrici rappresentative della forma

\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\end{matrix}\right]

in modo che il prodotto riga per colonna con un vettore a tre entrate restituisca un numero reale (equivalente del prodotto scalare).

Possiamo inoltre dare un volto all'applicazione lineare \tilde{\Phi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}. Poiché

\Phi(p(x))= p'(1)

e poiché

\frac{d}{dx}(a+bx+cx^2)=b+2cx

ne consegue che

p'(1)=b+2c

ossia

\Phi(a+bx+cx^2)=b+2c

Individuare la matrice associata a tale applicazione lineare è semplicissimo: basta impostare il prodotto riga per colonna

\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a \\ b \\ c\end{matrix}\right]=b+2c

da cui la matrice rappresentativa di \tilde{\Phi}

\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]

Ci siamo quasi: per individuare gli elementi del nucleo di \Psi non dobbiamo fare altro che considerare la condizione

\Phi\circ F=\underline{0}

o meglio

\tilde{\Phi}\circ \tilde{F}=\underline{0}

e ricordare la corrispondenza tra composizione e prodotto tra matrici rappresentative, prestando attenzione all'ordine (prima \tilde{F} e poi \tilde{\Phi})

\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]

Facendo i conti otteniamo

\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{21}+2a_{31} & a_{22}+2a_{32} & a_{23}+2a_{33}\end{matrix}\right]

Il risultato è una matrice rappresentativa di un'applicazione lineare \mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}, cioè di un'applicazione lineare di \tilde{V}_2 , come previsto.

Noi vogliamo che tale applicazione lineare sia identicamente nulla, quindi traduciamo la condizione in un opportuno sistema lineare

\begin{cases}a_{21}+2a_{31}=0\\ a_{22}+2a_{32}=0\\ a_{23}+2a_{33}=0\end{cases}

da cui

\begin{cases}a_{21}=-2a_{31}\\ a_{22}=-2a_{32}\\ a_{23}=-2a_{33}\end{cases}

In definitiva tutti e soli gli elementi del nucleo di \tilde{\Psi} sono rappresentati dalle matrici della forma

ker(\Psi)=\left\{\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ -2a_{31} & -2a_{32} & -2a_{33}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]\right\}

e avendo 6 entrate libere su 9 a disposizione, concludiamo che la dimensione del nucleo di \Psi è 6

dim(Ker(\Psi))=6
Ringraziano: CarFaby, Slapp

Re: Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94618

avt
Slapp
Punto
Wow, grazie mille!

Buona giornata!
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Os