Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi

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Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94581

Slapp

Punto

Non riesco a capire come risolvere questo esercizio sul nucleo di un'applicazione lineare tra spazi di applicazioni lineari.

Si considerino lo spazio vettoriale

costituito da tutte le applicazioni lineari da $\mathbb{R}_2[x]$ in $\mathbb{R}_2[x]$ e lo spazio vettoriale

delle applicazioni lineari da $\mathbb{R}_2[x]$ in $\mathbb{R}$ . Si consideri inoltre l'applicazione lineare $\Phi:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}$ in

tale che

$\Phi:p(x)\to p'(1)$

dove

denota la derivata prima del polinomio

.

Determinare la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare $\Psi:V_1\to V_2$ tale che $\Psi (F):=\Phi\circ F$

Grazie a chiunque saprà aiutarmi!

Re: Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94612

Omega

Amministratore

Superate le vacanze pasquali, eccoci qui. emt

L'unica vera difficoltà dell'esercizio riguarda l'interpretazione della traccia e la corretta impostazione dello svolgimento. Fatto ciò la risoluzione si ridurrà a puri e semplici calcoli.

Riepiloghiamo la situazione. Abbiamo:

- lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari $\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_2[x]$

$V_1:=\{F\mbox{ t.c. }F:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}_2[x]\}$

dove $\mathbb{R}_2[x]$ indica lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2, vale a dire della forma

dove $a,b,c\in\mathbb{R}$ sono coefficienti reali.

- Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari $\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}$

$V_2:=\{G\mbox{ t.c. }F:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}\}$

- Un'applicazione lineare $\Phi\in V_2$ che manda i polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 nei reali, definita in modo da associare ad ogni polinomio la sua derivata valutata in

$\\ \Phi\in V_2\ \ \ ;\ \ \ \Phi:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}\\ \\ \Phi(p(x))=p'(1)$

- L'applicazione lineare $\Psi$ che manda le applicazioni lineari di

nelle applicazioni lineari di

, e che è definita mediante composizione

$\Psi:V_1\to V_2\ \ \ ;\ \ \ \Psi(F)=\Phi\circ F$

dove $\Phi\circ F$ è un'applicazione lineare di

e dunque per definizione deve associare ad un polinomio di $\mathbb{R}_2[x]$ un numero reale.

Scopo del gioco: determinare il nucleo dell'applicazione lineare $\Psi$ , che ovviamente è un sottospazio vettoriale di

$\\ Ker(\Psi)\subseteq V_1\\ \\ Ker(\Psi)=\{F\in V_1\mbox{ t.c. }\Psi(F)=\underline{0}\}$

A parole: il nucleo di $\Psi$ è il sottospazio vettoriale delle applicazioni lineari di

che vengono mandate nell'applicazione lineare nulla di

, ossia in $\underline{0}\in V_2$ .

Dobbiamo quindi individuare tutte e sole le applicazioni lineari $F \in V_1$ tali per cui

$\Psi(F)= \underline{0}$

o, equivalentemente

$\Phi\circ F=\underline{0}$

Procediamo.

Innanzitutto dobbiamo ricordare che lo spazio vettoriale $\mathbb{R}_2[x]$ dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 può essere identificato, mediante un opportuno isomorfismo, con $\mathbb{R}^3$ .

Se fissiamo come base di $\mathbb{R}_2[x]$

$\{1,x,x^2\}$

e consideriamo come base di $\mathbb{R}^3$ la base canonica, allora possiamo considerare l'isomorfismo

$\mathbb{R}_2[x]\simeq \mathbb{R}^3\ \ ;\ \ a+bx+c^2 \to\left[\begin{matrix}a\\ b\\ c\end{matrix}\right]$

In questo modo possiamo ridurci a lavorare con lo spazio degli endomorfismi $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$

$\tilde{V}_1:=\{\tilde{F}\mbox{ t.c. }\tilde{F}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\}$

Le applicazioni lineari di tale spazio possono essere individuati mediante le matrici rappresentative a coefficienti reali

$\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]$

Con un ragionamento analogo possiamo lavorare considerando

$\tilde{V}_2:=\{\tilde{G}\mbox{ t.c. }\tilde{G}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\}$

e descrivere le applicazioni lineari mediante le matrici rappresentative della forma

$\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\end{matrix}\right]$

in modo che il prodotto riga per colonna con un vettore a tre entrate restituisca un numero reale (equivalente del prodotto scalare).

Possiamo inoltre dare un volto all'applicazione lineare $\tilde{\Phi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ . Poiché

$\Phi(p(x))= p'(1)$

e poiché

$\frac{d}{dx}(a+bx+cx^2)=b+2cx$

ne consegue che

ossia

$\Phi(a+bx+cx^2)=b+2c$

Individuare la matrice associata a tale applicazione lineare è semplicissimo: basta impostare il prodotto riga per colonna

$\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a \\ b \\ c\end{matrix}\right]=b+2c$

da cui la matrice rappresentativa di $\tilde{\Phi}$

$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$

Ci siamo quasi: per individuare gli elementi del nucleo di $\Psi$ non dobbiamo fare altro che considerare la condizione

$\Phi\circ F=\underline{0}$

o meglio

$\tilde{\Phi}\circ \tilde{F}=\underline{0}$

e ricordare la corrispondenza tra composizione e prodotto tra matrici rappresentative, prestando attenzione all'ordine (prima $\tilde{F}$ e poi $\tilde{\Phi}$ )

$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]$

Facendo i conti otteniamo

$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{21}+2a_{31} & a_{22}+2a_{32} & a_{23}+2a_{33}\end{matrix}\right]$

Il risultato è una matrice rappresentativa di un'applicazione lineare $\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}$ , cioè di un'applicazione lineare di $\tilde{V}_2$ , come previsto.

Noi vogliamo che tale applicazione lineare sia identicamente nulla, quindi traduciamo la condizione in un opportuno sistema lineare

$\begin{cases}a_{21}+2a_{31}=0\\ a_{22}+2a_{32}=0\\ a_{23}+2a_{33}=0\end{cases}$

da cui

$\begin{cases}a_{21}=-2a_{31}\\ a_{22}=-2a_{32}\\ a_{23}=-2a_{33}\end{cases}$

In definitiva tutti e soli gli elementi del nucleo di $\tilde{\Psi}$ sono rappresentati dalle matrici della forma

$ker(\Psi)=\left\{\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ -2a_{31} & -2a_{32} & -2a_{33}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]\right\}$

e avendo 6 entrate libere su 9 a disposizione, concludiamo che la dimensione del nucleo di $\Psi$ è 6

$dim(Ker(\Psi))=6$

Ringraziano: CarFaby, Slapp

Re: Esercizio su applicazioni lineari nello spazio dei polinomi #94618

Slapp Punto	Wow, grazie mille! Buona giornata!

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