Studio funzione irrazionale

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Studio funzione irrazionale #94563

andrea64 Punto	Mi servirebbe lo studio della seguente funzione irrazionale e di determinarne la funzione inversa $y=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}$ Per favore mi mostrereste tutti i passaggi per studiare la funzione? Con questo intendo C.E. - positività - zeri della funzione - se pari o dispari - iniettiva e/o suriettiva - se crescente o decrescente ed eventuale funzione inversa. Grazie mille!

Studio funzione irrazionale #94568

Ifrit

Amministratore

La funzione irrazionale di cui dobbiamo effettuare lo studio è

$y=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}$

Come ogni buono studio di funzione che rispetti, dobbiamo iniziare dal calcolo del dominio della funzione, a volte chiamato anche C.E..

Dominio o campo d'esistenza

La radice con indice pari pretende che il radicando sia maggiore o uguale a 0, e ciò conduce alla disequazione fratta

$x^2-\frac{3}{x^2}+1\ge 0$

Al fine di risolverla portiamo i termini a denominatore comune

$\frac{x^4-3+x^2}{x^2}\ge 0$

e studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Cominciamo dal segno del numeratore

$N\ge 0\to x^4-3+x^2\ge 0$

Ci troviamo di fronte ad una disequazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere riordinando i termini

$x^4+x^2-3\ge 0$

ed operando la semplice sostituzione

mediante la quale possiamo esprimere la potenza quarta come

, infatti:

In questo modo la disequazione $x^4+x^2-3\ge 0$ diventa

$t^2+t-3\ge 0$

Ci siamo ricondotti ad una disequazione di secondo grado il cui discriminante associato è

$\Delta=b^2-4ac=1+12=13$

Dunque le soluzioni dell'equazione associata sono:

$\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \\ \\ \\ = \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

dove

$t_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ è la soluzione più piccola

$t_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ è la soluzione più grande associata all'equazione.

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado la disequazione

$t^2+t-3\ge 0$

è soddisfatta per valori esterni, perché il coefficiente di

è positivo così come lo è il discriminante. Essa pertanto avrà per soluzioni

$t\le t_1\vee t\ge t_2$

o scritto in modo esplicito

$t\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee t\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

Perfetto, ora però dobbiamo ritornare nella variabile

e per farlo sostituiremo a

il termine

. Concordemente con la relazione

l'insieme soluzione diventa

$x^2\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee x^2\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

Consideriamo la prima delle due disequazioni

$x^2\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

Essa non ammette certamente soluzioni giacché al primo membro abbiamo una potenza con esponente pari e in quanto tale è positiva o al più nulla: non potrà mai essere minore o uguale ad un numero negativo.

Prendiamo in esame la più interessante

$x^2\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

avente per soluzioni

$x\le -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\vee x\ge\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$

Quello ottenuto è l'insieme in cui il numeratore è positivo o al più nullo.

Dedichiamoci ora al segno del denominatore, che fortunatamente è molto più facile da risolvere

$D>0\to x^2>0\to x\ne 0$

Osserviamo infatti che una potenza con esponente pari è positiva se e solo se la base è diversa da zero.

Mediante la tabella dei segni concludiamo che il dominio è:

$Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}: x\le -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\vee x\ge \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\right\}$

che possiamo scrivere anche utilizzando gli intervalli come

$Dom(f)=\left(-\infty, -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\right]\cup \left[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}},+\infty\right)$

Tranquillo, le due scritture sono perfettamente intercambiabili.

Ora che abbiamo determinato il dominio possiamo occuparci degli altri punti.

]Positività

Questo punto è molto semplice. È sufficiente tenere a mente che le funzioni irrazionali con indice pari sono non negative nel dominio.

In altri termini

$\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}\ge 0 \ \ \ \mbox{ per ogni } x\in Dom(f)$

Attenzione! Non è necessario risolvere nessuna disequazione. Questa è un informazione che appartiene al dna delle radici con indici pari. emt

Zeri della funzione

Per trovare gli zeri della funzione dobbiamo impostare l'equazione

$\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}=0$

ossia dobbiamo risolvere un'equazione irrazionale. In tal caso è sufficiente elevare al quadrato membro a membro ed ottenere

$x^2-\frac{3}{x^2}+1=0$

e scrivendo i termini a denominatore comune otteniamo l'equazione fratta

$\frac{x^4-3+x^2}{x^2}=0$

che è soddisfatta dalle

che annullano il numeratore ma non il denominatore

In realtà, abbiamo già risolto questa equazione nel momento in cui abbiamo risolto la disequazione per calcolare il dominio. In ogni caso, si procede ponendo

e riscrivendo l'equazione come

che ha per soluzioni

$t=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee t=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

Ripristiniamo la variabile

tenendo a mente che

.

La condizione

$t=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

diventa

$x^2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

che però non ha soluzioni perché una potenza con esponente pari non può essere mai negativa, mentre la condizione

$t=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

diventa

$x^2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

ed ha per soluzioni

$x=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$

I valori trovati rappresentano le ascisse dei punti di intersezione con l'asse delle x.

Parità e disparità della funzione

Studiamo la parità o disparità della funzione, osservando preventivamente che il campo di esistenza è simmetrico rispetto all'origine, quindi ha senso chiedersi se la funzione è pari o dispari.

Poniamo per semplicità di esposizione

$f(x)=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}$

e calcoliamo il termine

$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-\frac{3}{(-x)^2}+1}=$

Teniamo a mente che

dunque la precedente espressione diventa

$=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}=f(x)$

e coincide in tutto e per tutto con l'espressione della funzione di partenza. In definitiva la funzione data è pari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'origine.

Iniettività e suriettività

Osserviamo che essendo

pari, essa non può essere certamente una funzione iniettiva.

inoltre non è nemmeno una funzione suriettiva in $\mathbb{R}$ perché non è vero che assume tutti i valori reali. Come abbiamo dedotto dallo studio del segno, sappiamo che la funzione non può assumere valori negativi.

Crescenza e decrescenza della funzione

Per studiare la monotonia della funzione abbiamo bisogno della sua derivata prima che possiamo calcolare usando le opportune regole di derivazione

$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}\right]=$

Grazie alla regola di derivazione della funzione composta e alle derivate fondamentali otteniamo

$=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\frac{d}{dx}\left[x^2-\frac{3}{x^2}+1\right]=$

Deriviamo i termini rimasti, applicando la regola di derivazione della somma

$=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(\frac{d}{dx}[x^2]-\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{x^2}\right]+\frac{d}{dx}[1]\right)$

Osserviamo che la derivata del primo termine è abbastanza semplice

$\frac{d}{dx}[x^2]=2x$

Un po' più di attenzione richiede la derivata del secondo termine, ossia

$\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{x^2}\right]=$

Grazie alle proprietà delle potenze con esponente negativo possiamo scrivere

$=3\frac{d}{dx}\left[x^{-2}\right] =-6x^{-3}= -\frac{6}{x^3}$

Infine la derivata di una costante è 0, dunque

$\frac{d}{dx}[1]=0$

In definitiva possiamo scrivere che la derivata prima della funzione è

$y'=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(2x+\frac{6}{x^3}\right)$

Per ottenere gli intervalli di monotonia è sufficiente studiare il segno della derivata. Teniamo a mente infatti che la funzione di partenza è crescente negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, mentre risulta decrescente negli intervalli in cui la derivata prima è negativa.

$y'\ge 0\iff \frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(2x+\frac{6}{x^3}\right)\ge 0$

Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal fattore $2x+\frac{6}{x^3}$ , giacché il fattore con la radice è positivo e non influisce sul segno della derivata

In definitiva

$y'\ge 0\iff 2x+\frac{6}{x^3}\ge 0$

ossia

$\frac{2x^4+6}{x^3}\ge 0$

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore

$N\ge 0\to 2x^4+6\ge 0\iff 2x^4\ge -6\iff x^4\ge -3$

Questa disequazione è sempre soddisfatta perché

è certamente maggiore di un numero negativo.

$D>0\to x^3>0\to x>0$

Ora abbiamo a disposizione i segni mediante i quali possiamo estrapolare il segno della derivata prima.

Tenendo conto del dominio della funzione di partenza possiamo concludere che la derivata prima è

- positiva per $x> \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$

- negativa per $x<-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$

di conseguenza la funzione di partenza è

- crescente per $x> \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$ ;

- decrescente per $x<-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$ .

Osserviamo che $x=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}$ sono punti di minimo assoluto per la funzione.

Ringraziano: Omega, CarFaby

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