Studio funzione irrazionale

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Studio funzione irrazionale #94563

avt
andrea64
Punto
Mi servirebbe lo studio della seguente funzione irrazionale e di determinarne la funzione inversa

y=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}

Per favore mi mostrereste tutti i passaggi per studiare la funzione? Con questo intendo C.E. - positività - zeri della funzione - se pari o dispari - iniettiva e/o suriettiva - se crescente o decrescente ed eventuale funzione inversa.

Grazie mille!
 
 

Studio funzione irrazionale #94568

avt
Ifrit
Amministratore
La funzione irrazionale di cui dobbiamo effettuare lo studio è

y=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}

Come ogni buono studio di funzione che rispetti, dobbiamo iniziare dal calcolo del dominio della funzione, a volte chiamato anche C.E..

Dominio o campo d'esistenza

La radice con indice pari pretende che il radicando sia maggiore o uguale a 0, e ciò conduce alla disequazione fratta

x^2-\frac{3}{x^2}+1\ge 0

Al fine di risolverla portiamo i termini a denominatore comune

\frac{x^4-3+x^2}{x^2}\ge 0

e studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Cominciamo dal segno del numeratore

N\ge 0\to x^4-3+x^2\ge 0

Ci troviamo di fronte ad una disequazione di grado superiore al secondo che possiamo risolvere riordinando i termini

x^4+x^2-3\ge 0

ed operando la semplice sostituzione x^2=t mediante la quale possiamo esprimere la potenza quarta come t^2, infatti:

x^4= (x^2)^2= t^2

In questo modo la disequazione x^4+x^2-3\ge 0 diventa

t^2+t-3\ge 0

Ci siamo ricondotti ad una disequazione di secondo grado il cui discriminante associato è

\Delta=b^2-4ac=1+12=13

Dunque le soluzioni dell'equazione associata sono:

\\  t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \\ \\ \\ = \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}

dove

t_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} è la soluzione più piccola

t_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} è la soluzione più grande associata all'equazione.

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado la disequazione

t^2+t-3\ge 0

è soddisfatta per valori esterni, perché il coefficiente di t^2 è positivo così come lo è il discriminante. Essa pertanto avrà per soluzioni

t\le t_1\vee t\ge t_2

o scritto in modo esplicito

t\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee t\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}

Perfetto, ora però dobbiamo ritornare nella variabile x e per farlo sostituiremo a t il termine x^2. Concordemente con la relazione t=x^2 l'insieme soluzione diventa

x^2\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee x^2\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}

Consideriamo la prima delle due disequazioni

x^2\le \frac{-1-\sqrt{13}}{2}

Essa non ammette certamente soluzioni giacché al primo membro abbiamo una potenza con esponente pari e in quanto tale è positiva o al più nulla: non potrà mai essere minore o uguale ad un numero negativo.

Prendiamo in esame la più interessante

x^2\ge \frac{-1+\sqrt{13}}{2}

avente per soluzioni

x\le -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\vee x\ge\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}

Quello ottenuto è l'insieme in cui il numeratore è positivo o al più nullo.

Dedichiamoci ora al segno del denominatore, che fortunatamente è molto più facile da risolvere

D>0\to x^2>0\to x\ne 0

Osserviamo infatti che una potenza con esponente pari è positiva se e solo se la base è diversa da zero.

Mediante la tabella dei segni concludiamo che il dominio è:

Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}: x\le -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\vee x\ge \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\right\}

che possiamo scrivere anche utilizzando gli intervalli come

Dom(f)=\left(-\infty, -\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}\right]\cup \left[\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}},+\infty\right)

Tranquillo, le due scritture sono perfettamente intercambiabili.

Ora che abbiamo determinato il dominio possiamo occuparci degli altri punti.

]Positività

Questo punto è molto semplice. È sufficiente tenere a mente che le funzioni irrazionali con indice pari sono non negative nel dominio.

In altri termini

\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}\ge 0 \ \ \ \mbox{ per ogni } x\in Dom(f)

Attenzione! Non è necessario risolvere nessuna disequazione. Questa è un informazione che appartiene al dna delle radici con indici pari. emt

Zeri della funzione

Per trovare gli zeri della funzione dobbiamo impostare l'equazione

\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}=0

ossia dobbiamo risolvere un'equazione irrazionale. In tal caso è sufficiente elevare al quadrato membro a membro ed ottenere

x^2-\frac{3}{x^2}+1=0

e scrivendo i termini a denominatore comune otteniamo l'equazione fratta

\frac{x^4-3+x^2}{x^2}=0

che è soddisfatta dalle x che annullano il numeratore ma non il denominatore

x^4-3+x^2=0

In realtà, abbiamo già risolto questa equazione nel momento in cui abbiamo risolto la disequazione per calcolare il dominio. In ogni caso, si procede ponendo t=x^2 e riscrivendo l'equazione come

t^2+t-3=0

che ha per soluzioni


t=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\vee t=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}

Ripristiniamo la variabile x tenendo a mente che t=x^2.

La condizione

t=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}

diventa

x^2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}

che però non ha soluzioni perché una potenza con esponente pari non può essere mai negativa, mentre la condizione

t=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}

diventa

x^2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}

ed ha per soluzioni

x=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}

I valori trovati rappresentano le ascisse dei punti di intersezione con l'asse delle x.

Parità e disparità della funzione

Studiamo la parità o disparità della funzione, osservando preventivamente che il campo di esistenza è simmetrico rispetto all'origine, quindi ha senso chiedersi se la funzione è pari o dispari.

Poniamo per semplicità di esposizione

f(x)=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}

e calcoliamo il termine

f(-x)=\sqrt{(-x)^2-\frac{3}{(-x)^2}+1}=

Teniamo a mente che (-x)^2=x^2 dunque la precedente espressione diventa

=\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}=f(x)

e coincide in tutto e per tutto con l'espressione della funzione di partenza. In definitiva la funzione data è pari e il suo grafico sarà simmetrico rispetto all'origine.

Iniettività e suriettività

Osserviamo che essendo f(x) pari, essa non può essere certamente una funzione iniettiva.

f(x) inoltre non è nemmeno una funzione suriettiva in \mathbb{R} perché non è vero che assume tutti i valori reali. Come abbiamo dedotto dallo studio del segno, sappiamo che la funzione non può assumere valori negativi.

Crescenza e decrescenza della funzione

Per studiare la monotonia della funzione abbiamo bisogno della sua derivata prima che possiamo calcolare usando le opportune regole di derivazione


\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}\right]=

Grazie alla regola di derivazione della funzione composta e alle derivate fondamentali otteniamo

=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\frac{d}{dx}\left[x^2-\frac{3}{x^2}+1\right]=

Deriviamo i termini rimasti, applicando la regola di derivazione della somma

=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(\frac{d}{dx}[x^2]-\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{x^2}\right]+\frac{d}{dx}[1]\right)

Osserviamo che la derivata del primo termine è abbastanza semplice

\frac{d}{dx}[x^2]=2x

Un po' più di attenzione richiede la derivata del secondo termine, ossia

\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{x^2}\right]=

Grazie alle proprietà delle potenze con esponente negativo possiamo scrivere

=3\frac{d}{dx}\left[x^{-2}\right] =-6x^{-3}= -\frac{6}{x^3}

Infine la derivata di una costante è 0, dunque

\frac{d}{dx}[1]=0


In definitiva possiamo scrivere che la derivata prima della funzione è

y'=\frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(2x+\frac{6}{x^3}\right)

Per ottenere gli intervalli di monotonia è sufficiente studiare il segno della derivata. Teniamo a mente infatti che la funzione di partenza è crescente negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, mentre risulta decrescente negli intervalli in cui la derivata prima è negativa.


y'\ge 0\iff \frac{1}{2\sqrt{x^2-\frac{3}{x^2}+1}}\cdot\left(2x+\frac{6}{x^3}\right)\ge 0

Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal fattore 2x+\frac{6}{x^3}, giacché il fattore con la radice è positivo e non influisce sul segno della derivata

In definitiva

y'\ge 0\iff 2x+\frac{6}{x^3}\ge 0

ossia

\frac{2x^4+6}{x^3}\ge 0

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore

N\ge 0\to 2x^4+6\ge 0\iff 2x^4\ge -6\iff x^4\ge -3

Questa disequazione è sempre soddisfatta perché x^4 è certamente maggiore di un numero negativo.

D>0\to x^3>0\to x>0

Ora abbiamo a disposizione i segni mediante i quali possiamo estrapolare il segno della derivata prima.

Tenendo conto del dominio della funzione di partenza possiamo concludere che la derivata prima è

- positiva per x> \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}

- negativa per x<-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}

di conseguenza la funzione di partenza è

- crescente per x> \sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}};

- decrescente per x<-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}.

Osserviamo che x=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}} sono punti di minimo assoluto per la funzione.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os