Disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali

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Disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali #94399

avt
RichardMaths
Punto
Mi fareste vedere lo svolgimento di una disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali? È la disequazione numero V della scheda intermediate di esercizi sulle disequazioni logaritmiche.

2\ln(x)-3<\frac{2\ln(x)+3}{\ln(x)}

Vi chiedo particolare enfasi circa le condizioni di esistenza e la determinazione del risultato finale, in quanto il risultato della disequazione dove \ln(x)=y che mi risulta è

2y^2-5y-3<0

e mi è uscito: -\frac{1}{2}<\ln(x)<3 con risultato

0<x<e^3\ \vee\ \ln(x)>-\frac{1}{2}

che è diverso dal risultato previsto...
 
 

Disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali #94404

avt
Omega
Amministratore
Vogliamo risolvere la disequazione logaritmica

2\ln(x)-3<\frac{2\ln(x)+3}{\ln(x)}

Il primo passo consiste nel determinare le condizioni di esistenza delle soluzioni. Innanzitutto osserviamo che il logaritmo naturale impone che il suo argomento sia positivo, quindi

x>0

La seconda condizione è relativa al denominatore del rapporto di destra, che non deve annullarsi

\ln(x)\neq 0

Questa disuguaglianza va trattata come un'equazione logaritmica elementare, per cui

\ln(x)\neq 0\ \to\ x\neq 1

Entrambe le condizioni di esistenza vanno poste a sistema e possiamo riassumerle nel modo seguente, usando il connettivo logico "e"

x>0\ \wedge\ x\neq 1

Con tali premesse possiamo procedere alla risoluzione della disequazione

2\ln(x)-3<\frac{2\ln(x)+3}{\ln(x)}

Portiamo il secondo membro a sinistra in modo da calcolare il denominatore comune. Poiché stiamo risolvendo una disequazione non dobbiamo cadere nella tentazione di moltiplicare entrambi i membri per \ln(x), perché tale termine non ha un segno costante al variare di x e non sapremmo come gestire il simbolo di disequazione

2\ln(x)-3-\frac{2\ln(x)+3}{\ln(x)}<0

Da qui ricaviamo

\frac{2\ln^2(x)-3\ln(x)-2\ln(x)-3}{\ln(x)}<0

ossia

\frac{2\ln^2(x)-5\ln(x)-3}{\ln(x)}<0\ \ \ (\bullet)

e ci siamo ridotti a risolvere una disequazione fratta. Ora serve parecchia attenzione: il simbolo presente nella disequazione è <, quindi a noi interessano le soluzioni che rendono il rapporto negativo.

Nello studio separato dei segni di numeratore e denominatore dobbiamo però sempre e comunque cercare le soluzioni che li rendono maggiori di zero, dunque riportare il simbolo >.

Alla fine, dal diagramma di confronto dei segni cercheremo le soluzioni come i valori x che rendono il rapporto negativo, come richiesto all'ultimo passaggio (\bullet)

N>0)\ 2\ln^2(x)-5\ln(x)-3>0

Qui ci conviene procedere per sostituzione, ponendo y=\ln(x).

2y^2-5y-3>0

Risolviamo l'equazione di secondo grado associata

\\ 2y^2-5y-3=0\\ \\ y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\begin{cases}-\frac{1}{2}\\ 3\end{cases}

Le soluzioni della disequazione di secondo grado si ottengono considerando i valori esterni

y<-\frac{1}{2}\ \vee\ y>3

Torniamo alla variabile x

\ln(x)<-\frac{1}{2}\ \vee\ \ln(x)>3

Risolviamo le due semplici disequazioni logaritmiche applicando l'esponenziale, e non dimentichiamo che siamo sempre nel regime di condizioni di esistenza poste inizialmente

x<e^{-\frac{1}{2}}\ \vee\ x>e^3

Non basta: dobbiamo tenere conto delle CE.

0<x<e^{-\frac{1}{2}}\ \vee\ x>e^3

e abbiamo trovato i valori di x per cui il numeratore di (\bullet) è positivo.

D>0)\ \ln(x)>0

Questa disequazione logaritmica elementare si traduce banalmente in

x>e^0\ \to\ x>1

Segno del rapporto

Per concludere non ci resta che tracciare il diagramma dei segni e cercare le x che rendono il rapporto (\bullet) negativo, come richiesto nell'ultimo passaggio prima di passare allo studio dei segni di numeratore e denominatore.

Per tracciare il diagramma dobbiamo cancellare i valori esclusi dalle condizioni di esistenza; inoltre è di fondamentale importanza ottenere delle approssimazioni per i valori limite, in modo da disporli correttamente. A tal proposito puoi servirti della calcolatrice

\\ e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\simeq 0,6\\ \\ e^3\simeq 20,1

dove ho arrotondato i risultati alla prima cifra decimale e, nel primo passaggio, ho usato la regola per le potenze con esponente fratto.

Dal diagramma dei segni si ricavano le soluzioni

0<x<\frac{1}{\sqrt{e}}\ \vee\ 1<x<e^3

e abbiamo finito!
Ringraziano: CarFaby, RichardMaths

Re: Disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali #94405

avt
RichardMaths
Punto
Grazie! Credo che l'errore consistesse nel fatto che dopo il mcm mi "disfavo" del denominatore moltiplicando entrambi i membri per \ln(x)...
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Os