Disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali

Mi fareste vedere lo svolgimento di una disequazione logaritmica fratta con logaritmi naturali? È la disequazione numero V della scheda intermediate di esercizi sulle disequazioni logaritmiche.

Vi chiedo particolare enfasi circa le condizioni di esistenza e la determinazione del risultato finale, in quanto il risultato della disequazione dove che mi risulta è

e mi è uscito: con risultato

che è diverso dal risultato previsto...

Vogliamo risolvere la disequazione logaritmica

Il primo passo consiste nel determinare le condizioni di esistenza delle soluzioni. Innanzitutto osserviamo che il logaritmo naturale impone che il suo argomento sia positivo, quindi

La seconda condizione è relativa al denominatore del rapporto di destra, che non deve annullarsi

Questa disuguaglianza va trattata come un'equazione logaritmica elementare, per cui

Entrambe le condizioni di esistenza vanno poste a sistema e possiamo riassumerle nel modo seguente, usando il connettivo logico "e"

Con tali premesse possiamo procedere alla risoluzione della disequazione

Portiamo il secondo membro a sinistra in modo da calcolare il denominatore comune. Poiché stiamo risolvendo una disequazione non dobbiamo cadere nella tentazione di moltiplicare entrambi i membri per , perché tale termine non ha un segno costante al variare di e non sapremmo come gestire il simbolo di disequazione

Da qui ricaviamo

ossia

e ci siamo ridotti a risolvere una disequazione fratta. Ora serve parecchia attenzione: il simbolo presente nella disequazione è <, quindi a noi interessano le soluzioni che rendono il rapporto negativo.

Nello studio separato dei segni di numeratore e denominatore dobbiamo però sempre e comunque cercare le soluzioni che li rendono maggiori di zero, dunque riportare il simbolo >.

Alla fine, dal diagramma di confronto dei segni cercheremo le soluzioni come i valori che rendono il rapporto negativo, come richiesto all'ultimo passaggio

Qui ci conviene procedere per sostituzione, ponendo .

Risolviamo l'equazione di secondo grado associata

Le soluzioni della disequazione di secondo grado si ottengono considerando i valori esterni

Torniamo alla variabile

Risolviamo le due semplici disequazioni logaritmiche applicando l'esponenziale, e non dimentichiamo che siamo sempre nel regime di condizioni di esistenza poste inizialmente

Non basta: dobbiamo tenere conto delle CE.

e abbiamo trovato i valori di per cui il numeratore di è positivo.

Questa disequazione logaritmica elementare si traduce banalmente in

Segno del rapporto

Per concludere non ci resta che tracciare il diagramma dei segni e cercare le che rendono il rapporto negativo, come richiesto nell'ultimo passaggio prima di passare allo studio dei segni di numeratore e denominatore.

Per tracciare il diagramma dobbiamo cancellare i valori esclusi dalle condizioni di esistenza; inoltre è di fondamentale importanza ottenere delle approssimazioni per i valori limite, in modo da disporli correttamente. A tal proposito puoi servirti della calcolatrice

dove ho arrotondato i risultati alla prima cifra decimale e, nel primo passaggio, ho usato la regola per le potenze con esponente fratto.

Dal diagramma dei segni si ricavano le soluzioni

e abbiamo finito!

Grazie! Credo che l'errore consistesse nel fatto che dopo il mcm mi "disfavo" del denominatore moltiplicando entrambi i membri per ...