Equazione esponenziale con esponenti polinomiali

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Equazione esponenziale con esponenti polinomiali #94371

avt
RichardMaths
Punto
Ciao Ragazzi, vi scrivo per la risoluzione di un'equazione esponenziale con esponenti polinomiali.

Siccome io in pratica studio sul tram o nella metro, ho bisogno al solito di una spiegazione bella farcita di link dove posso vedere ogni singola regola applicata.

Mi fareste vedere come risolvere l'equazione numero VII della scheda intermedia di esercizi sulle equazioni esponenziali?

\frac{e^{3x^3}e^3}{e^{2x}}=e^{2x^2+x+1}

Grazie anticipatamente!
 
 

Re: Equazione esponenziale con esponenti polinomiali #94372

avt
Omega
Amministratore
Eccoci RichardMaths!

Vediamo come risolvere l'equazione esponenziale

\frac{e^{3x^3}e^3}{e^{2x}}=e^{2x^2+x+1}

La prima cosa da fare è occuparsi delle condizioni di esistenza delle soluzioni.

La funzione esponenziale di per sé non presenta problemi, perché è ovunque definita.

Gli esponenti sono funzioni polinomiali, dunque sono a loro volta ovunque definiti.

Da ultimo, abbiamo un denominatore e dobbiamo imporre che non si annulli

e^{2x}\neq 0

ma ci basta osservare che l'esponenziale non è mai nulla ove è definita, infatti è sempre positiva.

In buona sostanza non ci sono condizioni di esistenza da imporre, il che vuol dire che l'equazione ha senso \forall x\in\mathbb{R}.

Per risolvere algebricamente l'equazione le proprietà delle potenze giocheranno un ruolo di fondamentale importanza.

\frac{e^{3x^3}e^3}{e^{2x}}=e^{2x^2+x+1}

In primo luogo usiamo la regola per il prodotto di potenze con la stessa base

\frac{e^{3x^3+3}}{e^{2x}}=e^{2x^2+x+1}

In secondo luogo usiamo la regola per il rapporto di potenze con la stessa base

e^{3x^3+3-2x}=e^{2x^2+x+1}

A questo punto possiamo ridurci al confronto degli esponenti (per farlo applichiamo il logaritmo naturale ad entrambi i membri)

3x^3+3-2x=2x^2+x+1

Portiamo tutto al primo membro prestando attenzione ai segni

3x^3+3-2x-2x^2-x-1=0

Facciamo i conti sommando e sottraendo i monomi simili

3x^3-2x^2-3x+2=0

Ora che facciamo? Abbiamo un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo: dobbiamo capire come scomporre il polinomio a primo membro.

La tentazione è quella di usare la regola di Ruffini e funzionerebbe tutto a meraviglia, ma se esiste una strada più rapida è nostro preciso dovere (e istinto di sopravvivenza emt ) individuarla e perseguirla.

Basta una semplice occhiata per capire che possiamo cavarcela con un raccoglimento a fattor comune parziale

x^2(3x-2)-(3x-2)=0

Nota che raccogliendo un segno meno sugli ultimi due termini abbiamo ottenuto il fattore comune desiderato. Da qui ricaviamo

(x^2-1)(3x-2)=0

e la legge di annullamento del prodotto fa il resto: il prodotto di più termini è nullo se anche solo uno dei fattori è nullo.

x^2-1=0

che è un'equazione di secondo grado che ammette come soluzioni x=\pm 1.

3x-2=0

che è un'equazione di primo grado che ammette come unica soluzione x=\frac{2}{3}.

In conclusione tutte e sole le soluzioni dell'equazione proposta sono date da

x=-1,\ x=1,\ x=\frac{2}{3}
Ringraziano: RichardMaths

Re: Equazione esponenziale con esponenti polinomiali #94373

avt
RichardMaths
Punto
Grazie Ragazzi! Cavoli era facile...

Sarà il numero di Nepero che ancora mi frega! Grazie ancora!
Ringraziano: Omega
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Os