Equazione logaritmica con base fratta

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Equazione logaritmica con base fratta #94345

avt
RichardMaths
Punto
Mi fareste vedere lo svolgimento della seguente equazione logaritmica con base fratta, presa dalla scheda di esercizi sulle equazioni logaritmiche per favore? Non riesco proprio a risolverla!

Trovare le soluzioni dell'equazione logaritmica

\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+\log_{\frac{1}{2}}(6x-2)-\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)=\log_{\frac{1}{2}}(4)

Grazie anticipatamente!
 
 

Equazione logaritmica con base fratta #94350

avt
Ifrit
Amministratore
L'equazione logaritmica da risolvere è

\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+\log_{\frac{1}{2}}(6x-2)-\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)=\log_{\frac{1}{2}}(4)

nella quale compaiono diversi logaritmi aventi fortunatamente la stessa base.

La prima cosa che bisogna fare consiste nel determinare l'insieme d'esistenza dell'equazione, ossia l'insieme dei valori per i quali ha senso l'equazione.

Affinché l'equazione abbia senso dobbiamo richiedere che ciascun logaritmo esista, e ciò avviene quando tutti gli argomenti presenti siano contemporaneamente maggiori di zero. Quando incontriamo l'avverbio contemporaneamente nel linguaggio delle equazioni e delle disequazioni, saremo certi che prima o poi ci toccherà risolvere un sistema e l'esercizio in questione non fa certo eccezione.

Pretendiamo che gli argomenti siano contemporaneamente maggiori di zero impostando il sistema di disequazioni

\begin{cases}x+1>0&\mbox{ C.E. di }\log_{\frac{1}{2}}(x+1) \\ \\ 6x-2>0&\mbox{ C.E. di }\log_{\frac{1}{2}}(6x-2) \\ \\ 5x+1>0 &\mbox{ C.E. di }\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)\end{cases}

e osserviamo che il logaritmo al secondo membro esiste sicuramente perché il suo argomento è costante e positivo.

Risolviamo separatamente le tre disequazioni di primo grado

\\ \bullet \ \ x+1>0\to x>-1 \\  \\ \bullet \ \ 6x-2>0\to 6x>2\to x>\frac{2}{6}\to x>\frac{1}{3} \\  \\ \bullet \ \ 5x+1>0\to 5x>-1\to x>-\frac{1}{5}

e prendiamo le soluzioni comuni, ossia

x>\frac{1}{3}

Deduciamo quindi che l'insieme di esistenza è dato da

\mbox{C.E.} \ : \ x>\frac{1}{3}

Tutte le soluzioni accettabili apparterranno a tale insieme.

Una volta determinato l'insieme d'esistenza è necessario riportare l'equazione logaritmica nella forma normale

\log_{a}(f(x))=\log_{a}(g(x))

Sia al primo che al secondo membro deve comparire un unico logaritmo: affinché ciò si verifichi faremo uso delle famigerate proprietà dei logaritmi.

A patto che gli argomenti siano positivi, ricordiamo che:

(a) la somma di due logaritmi aventi la stessa base può trasformarsi in un unico logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti dei logaritmi dati.

(b) La differenza di due logaritmi aventi la stessa base può trasformarsi in un unico logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il quoziente degli argomenti dei logaritmi dati.

In questo caso, procederemo passaggio per passaggio, ma con la pratica e con l'occhio allenato, molti di essi possono essere tranquillamente saltati. Riportiamo l'equazione

\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+\log_{\frac{1}{2}}(6x-2)-\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)=\log_{\frac{1}{2}}(4)

e iniziamo a risolverla.

In base alla regola (a) deduciamo la seguente uguaglianza

\log_{\frac{1}{2}}(x+1)+\log_{\frac{1}{2}}(6x-2)=\log_{\frac{1}{2}}((x+1)(6x-2))

mediante la quale l'equazione diventa

\log_{\frac{1}{2}}((x+1)(6x-2))-\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)=\log_{\frac{1}{2}}(4)

Al primo membro abbiamo una differenza di logaritmi con la stessa base, dunque possiamo applicare la regola (b) ed ottenere l'uguaglianza

\log_{\frac{1}{2}}((x+1)(6x-2))-\log_{\frac{1}{2}}(5x+1)= \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{(x+1)(6x-2)}{(5x+1)}\right)

mediante la quale l'equazione si scrive come

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{(x+1)(6x-2)}{(5x+1)}\right)=\log_{\frac{1}{2}}(4)

Ora l'equazione è ridotta in forma normale e poiché sia al primo che al secondo membro compaiono logaritmi con la stessa base, siamo autorizzati ad uguagliare gli argomenti ed ottenere l'equivalente equazione fratta

\frac{(x+1)(6x-2)}{5x+1}=4

Trasportiamo tutto al primo membro, stando attenti ai segni

\frac{(x+1)(6x-2)}{5x+1}-4=0

e calcoliamo il denominatore comune

\frac{(x+1)(6x-2)-4(5x+1)}{5x+1}=0

Ora con molta cautela, eseguiamo i calcoli al numeratore

\frac{6x^2-2x+6x-2-20x-4}{5x+1}=0

e infine sommiamo i termini simili

\frac{6x^2-16x-6}{5x+1}=0

Per portare a termine l'esercizio, dobbiamo ricordare che una frazione è zero nel momento in cui il numeratore è uguale a zero e il denominatore diverso da zero.

Impostiamo quindi l'equazione di secondo grado

N=0\to 6x^2-16x-6=0

e calcoliamone il discriminante associato

\Delta = b^2-4ac= (-16)^2-4\cdot 6\cdot (-6)=400

Poiché il \Delta è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, date da

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \\ \\ \\ = \frac{-(-16)\pm \sqrt{400}}{12}

da cui

\\ x_1=\frac{16-20}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3} \\ \\ \\ \mbox{mentre }\\ \\ \\ x_2=\frac{16+20}{12}=\frac{36}{12}=3

Per quanto riguarda il denominatore, dovremmo richiedere che sia diverso da zero, ma ciò è certamente vero nelle condizioni di esistenza imposte all'inizio dell'esercizio.

Attenzione, abbiamo ottenuto due candidate soluzione, ma affinché vengano promosse devono superare l'ultimo test: devono rispettare la condizione dettata dall'insieme di esistenza.

x_1=-\frac{1}{3} non è maggiore di \frac{1}{3}, dunque non soddisfa la condizione

x>\frac{1}{3}

pertanto non è accettabile (è un falso positivo).

x_2=3 invece soddisfa la condizione, ed è (l'unica) soluzione dell'equazione iniziale.

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, CarFaby, RichardMaths

Equazione logaritmica con base fratta #94351

avt
RichardMaths
Punto
Grazie lfrit!
Ringraziano: Ifrit
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Os