Equazione logaritmica fratta con condizioni di esistenza

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Equazione logaritmica fratta con condizioni di esistenza #94334

avt
RichardMaths
Punto
Mi fareste vedere come svolgere un'equazione logaritmica fratta, tipo l'ultima della scheda di esercizi sulle equazioni logaritmiche?

\frac{2\log_{4}{(4)}}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{\log_{4}{(x^2)}+2}=\frac{3}{2}

Con dovizia di link come al solito, ragazzi!
Grazie anticipatamente!
 
 

Equazione logaritmica fratta con condizioni di esistenza #94337

avt
Omega
Amministratore
Ciao RichardMaths,

vogliamo risolvere la seguente equazione logaritmica con termini fratti:

\frac{2\log_{4}{(4)}}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{\log_{4}{(x^2)}+2}=\frac{3}{2}

Condizioni di esistenza

La prima cosa da fare in questo frangente consiste nel porre le condizioni di esistenza per le soluzioni dell'equazione. Gli unici termini problematici nel nostro caso sono i seguenti:

- i denominatori non devono mai annullarsi;

- i logaritmi devono avere l'argomento maggiore di zero.

Mettiamo tutte le condizioni a sistema

\begin{cases}x>0\\ x^2>0\\ \log_{4}(x)+1\neq 0\\ \log_{4}{(x^2)}+2\neq 0\end{cases}

Innanzitutto nota che la seconda condizione si traduce in x\neq 0, perché un quadrato non può essere negativo ed è nullo solamente se la base è nulla.

Tale condizione, d'altronde, è già inclusa nella prima cosicché possiamo alleggerire il sistema

\begin{cases}x>0\\ \log_{4}(x)+1\neq 0\\ \log_{4}{(x^2)}+2\neq 0\end{cases}

Ti faccio anche notare che le disuguaglianze vanno risolte come semplici equazioni. Risolviamole separatamente trattandole come equazioni logaritmiche elementari, e teniamo presente che la condizione x>0 è già stata imposta

\log_{4}(x)+1\neq 0

Portiamo il termine noto a destra

\log_{4}(x)\neq -1

e determiniamo la soluzione mediante la definizione

x\neq 4^{-1}

Se preferisci possiamo riscrivere il risultato con la regola per potenze con esponente negativo

x\neq \frac{1}{4}

Passiamo alla seconda disuguaglianza

\log_{4}(x^2)+2\neq 0

da cui ricaviamo

\log_{4}(x^2)\neq -2

ossia

x^2\neq 4^{-2}\ \to\ x^2\neq \frac{1}{16}

Non ci resta che risolvere la semplice equazione di secondo grado che ne deriva estraendo la radice quadrata

x\neq \pm\frac{1}{4}

A questo punto possiamo riscrivere le condizioni di esistenza delle soluzioni

\begin{cases}x>0\\ x\neq \frac{1}{4}\\ x\neq \pm\frac{1}{4}\end{cases}

ossia

\mbox{C.E.}:\ x>0\ \wedge\ x\neq +\frac{1}{4}

dove il simbolo \wedge indica il connettivo logico "e".

Risoluzione dell'equazione

\frac{2\log_{4}{(4)}}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{\log_{4}{(x^2)}+2}=\frac{3}{2}

Sul primo numeratore applichiamo la definizione di logaritmo, per cui

\frac{2\cdot 1}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{\log_{4}{(x^2)}+2}=\frac{3}{2}

Per il secondo denominatore usiamo una nota proprietà dei logaritmi, quella relativa all'argomento espresso sotto forma di potenza

\frac{2}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{2\log_{4}(x)+2}=\frac{3}{2}

Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune sul secondo denominatore

\frac{2}{\log_{4}(x)+1}+\frac{6}{2(\log_{4}(x)+1)}=\frac{3}{2}

e semplifichiamo

\frac{2}{\log_{4}(x)+1}+\frac{3}{\log_{4}(x)+1}=\frac{3}{2}

Bene! I due denominatori coincidono, quindi abbiamo già il denominatore comune

\\ \frac{2+3}{\log_{4}(x)+1}=\frac{3}{2}\\ \\ \\ \frac{5}{\log_{4}(x)+1}=\frac{3}{2}

Non ci resta che portare il termine di destra a sinistra dell'uguale

\\ \frac{2+3}{\log_{4}(x)+1}=\frac{3}{2}\\ \\ \\ \frac{5}{\log_{4}(x)+1}-\frac{3}{2}=0

e calcolare il denominatore comune

\frac{5\cdot 2-3\cdot (\log_4(x)+1)}{2(\log_{4}(x)+1)}=0

Facciamo i conti

\frac{10-3\log_4(x)-3}{2(\log_{4}(x)+1)}=0

ossia

\frac{7-3\log_4(x)}{2(\log_{4}(x)+1)}=0

Nelle condizioni di esistenza possiamo cancellare il denominatore perché esiste ed è certamente non nullo. Ci rimane

7-3\log_4(x)=0

da cui

\log_4(x)=\frac{7}{3}

A questo punto basta applicare la definizione e ricavare

x=4^{\frac{7}{3}}

che possiamo riscrivere mediante la regola per le potenze con esponente frazionario

x=\sqrt[3]{4^7}

Tale risultato soddisfa le condizioni di esistenza, per cui è la (unica) soluzione dell'equazione.
Ringraziano: CarFaby, RichardMaths

Equazione logaritmica fratta con condizioni di esistenza #94338

avt
RichardMaths
Punto
Grazie per il vostro aiuto!

Riccardo
Ringraziano: Omega
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Os