Coordinate di un punto che forma un triangolo isoscele

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Coordinate di un punto che forma un triangolo isoscele #94292

avt
pelunghia
Punto
Come si risolve questo esercizio di Geometria Analitica sul triangolo isoscele?

Devo individuare un punto P con ascissa tripla dell'ordinata formante un triangolo isoscele con i punti A(2;1) e B(-2;3).
 
 

Re: Coordinate di un punto che forma un triangolo isoscele #94293

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di determinare un punto

P(x_P, y_P)

del piano cartesiano che formi con i punti A(2,1)\mbox{ e }B(-2, 3) un triangolo isoscele.

L'esercizio inoltre ci avverte del fatto che P ha ascissa tripla dell'ordinata (consiglio la lettura di - ascissa e ordinata) ossia

x_P=3 y_P

In sostanza le coordinate del punto P sono (3 y_P, y_P).

Una delle peculiarità del triangolo isoscele con base AB è che il vertice appartiene all'asse del segmento AB, pertanto per risolvere con agilità l'esercizio dobbiamo:

- calcolare l'asse del segmento AB;

- imporre la condizione di appartenenza di P all'asse del segmento;

- risolvere l'equazione derivante dalla condizione di appartenenza, essa ci fornirà le coordinate del punto P.

In questo modo siamo certi che il triangolo di vertici ABP è isoscele.

Determiniamo l'equazione dell'asse del segmento di estremi A(2, 1)\mbox{ e }B(-2,3), tenendo a mente che esso è quella retta passante per il punto medio di AB e perpendicolare alla retta passante per i punti A\mbox{ e }B.

Il punto medio M del segmento AB è:

\\ M=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)= \\ \\ \\ = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2} \right)=\left(0, 2\right)

L'asse del segmento passa per il punto medio pertanto la sua equazione sarà della forma

r: y-y_{M}=m_{r}(x-x_{M})

che scaturisce dalla formula per la retta passante per un punto.

Sostituendo i valori x_M=0\mbox{ e }y_{M}=2 scopriamo

r: y-2=m_{r}(x-0)\to y-2=m_r x

dove m_{r} è il coefficiente angolare dell'asse da determinare.

L'asse del segmento è perpendicolare alla retta passante per AB avente coefficiente angolare dato dalla relazione

\\ m_{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}= \\ \\ \\ = \frac{3-1}{-2-2}= \frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}

Nota: potremmo pensare di calcolare l'equazione della retta passante per i due punti A\mbox{ e }B, e dedurre il coefficiente angolare dalla sua espressione, ma sarebbe uno spreco di tempo.

Ricapitolando, abbiamo a disposizione:

- l'equazione dell'asse del segmento AB

r \ :\ y-2=m_{r}x

di cui non conosciamo il valore m_r;

- il coefficiente angolare della retta passante per A\mbox{ e }B;

e sappiamo inoltre che l'asse è perpendicolare alla retta passante per A\mbox{ e }B. Questa informazione è fondamentale perché fornisce la condizione mediante la quale calcoleremo il coefficiente angolare dell'asse: è sufficiente applicare quella che in gergo si chiama condizione di perpendicolarità

m_{r}\cdot m_{AB}=-1

da cui otteniamo un'equazione con incognita m_{r}

-\frac{1}{2}m_{r}=-1

Risolviamo l'equazione così da ottenere il coefficiente angolare dell'asse

m_{r}=2

Deduciamo che l'asse del segmento AB ha equazione

r\ : \ y-2=m_r x\to y-2=2 x\to y=2x+2

Siamo in dirittura d'arrivo. Affinché il triangolo di vertici A, \ B\mbox{ e }P sia isoscele dobbiamo richiedere che P appartenga all'asse, o detto in altri termini, che le sue coordinate soddisfino l'equazione r

\\ P(3y_{P}, y_{P})\in r\iff y_{P}=2\cdot (3 y_{P})+ 2 \\ \\ \\ y_{P}=6 y_{P}+2

Risolvendo l'equazione otteniamo y_{P}

-5y_{P}=2\to y_{P}=-\frac{2}{5}

Noto il valore dell'ordinata di P possiamo calcolare anche l'ascissa mediante la relazione dettata dall'esercizio

x_{P}=3 y_{P}\implies x_{P}=3\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{6}{5}

In definitiva il punto P ha coordinate

P\left(-\frac{6}{5}, -\frac{2}{5}\right)

L'esercizio è concluso.


Metodo alternativo

Un altro modo per rispondere al quesito consiste nell'applicare la definizione di distanza tra due punti. Poiché il triangolo è isoscele per ipotesi allora i lati obliqui sono congruenti, ossia hanno la stessa lunghezza.

AP=PB

Grazie alla formula della distanza tra due punti si ha che

\\ AP=\sqrt{(x_{A}-x_{P})^2+(y_{A}-y_{P})^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{(2-3y_{P})^2+(1-y_{P})^2}=

inoltre, sviluppati i quadrati di binomio e sommati tra loro i termini simili, giungeremo all'espressione

=\sqrt{10 y_{P}^{2}-14 y_{P}+5}

Calcoliamo la distanza tra il punto P e il punto B

\\ BP=\sqrt{(x_{B}-x_{P})^2+(y_{B}-y_{P})^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{(-2-3y_{P})^2+(3-y_{P})^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{10 y_{P}^2+6 y_{P}+13}

Ottimo, non ci resta che imporre l'uguaglianza AP=PB ed ottenere l'equazione irrazionale

\sqrt{10 y_{P}^{2}-14 y_{P}+5}=\sqrt{10 y_{P}^2+6 y_{P}+13}

che si risolve elevando al quadrato membro a membro

10 y_{P}^{2}-14 y_{P}+5=10 y_{P}^2+6 y_{P}+13

e sommando tra loro i termini simili arriveremo all'equazione

-20y_{P}=8\to y_{P}=-\frac{8}{20}=-\frac{2}{5}

da cui segue che

x_{P}=3y_{P}=-\frac{6}{5}

e abbiamo ottenuto le stesse coordinate calcolate con il metodo visto in precedenza.
Ringraziano: Galois
  • Pagina:
  • 1
Os