Metodo delle frazioni parziali applicato agli integrali indefiniti

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Metodo delle frazioni parziali applicato agli integrali indefiniti #94247

avt
Faefnir
Punto
Salve a tutti. Devo risolvere questo integrale:

\displaystyle \int \dfrac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}} \; dx

La procedura è quella di scrivere la funzione come la somma di frazioni più semplici, e il risultato è:

\displaystyle  \int \dfrac{1}{4(x+1)^{2}} - \dfrac{1}{4(x+1)} + \dfrac{1}{4(x-1)^{2}} + \dfrac{1}{4(x-1)} \; dx

Per arrivare a questo risultato si deve ricorrere al metodo delle frazioni parziali: ma perché quattro termini? E ad ogni termine, qual'è il fratto che devo associare?

Grazie in anticipo
 
 

Re: Metodo delle frazioni parziali applicato agli integrali indefiniti #94256

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro intento è quello di risolvere l'integrale razionale fratto

\int\frac{x^2}{(x^2-1)^2}dx

e il metodo dei fratti semplici è perfetto per lo scopo. La procedura è standard e la prima cosa da fare è quella di scomporre il denominatore dell'integranda come prodotto di fattori irriducibili, ed è quello che faremo.

Osserviamo che la base di (x^2-1)^2 è una differenza di quadrati, pertanto

(x^2-1)^2= [(x-1)(x+1)]^2=(\bullet)

Mediante le proprietà delle potenze possiamo distribuire l'esponente 2 a ciascun fattore della base

(\bullet)=(x-1)^2\cdot (x+1)^2

Siamo stati in grado di scomporre il polinomio (x^2-1)^{2} come prodotto di due potenze con esponente 2.

In base alla teoria dei fratti semplici

- al fattore (x-1)^2 assoceremo \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2};

- al fattore (x+1)^2 assoceremo \frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}

dove A, \ B, \ C, \ \mbox{ e }D sono numeri reali da determinare.

Teniamo a mente infatti che se nella scomposizione del denominatore compare una potenza di binomio del tipo

(x-a)^{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}

ad esso assoceremo la somma di n termini

\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+...+\frac{A_n}{(x-a)^{n}}

Il prossimo passo consiste nel determinare le costanti A, \ B, \ C, \mbox{ e }D di modo che sussista l'uguaglianza

\frac{x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}

in questo modo esprimiamo l'integranda come somma di frazioni che sono più facili da integrare.

Per determinare le costanti, portiamo a denominatore comune

\frac{x^2}{(x^2-1)^{2}}=\frac{A(x-1)(x+1)^2+ B(x+1)^2+C(x-1)^2 (x+1)+D (x-1)^2}{(x-1)^2 (x+1)^2}

e semplifichiamo i denominatori

x^2=A(x-1)(x+1)^2+ B(x+1)^2+C(x-1)^2 (x+1)+D (x-1)^2

A questo punto non ci resta altro che eseguire con calma i calcoli al secondo membro

x^2=A x^3+C x^3+A x^2- C x^2+D x^2 - Ax +2 B x-C x-A + B +C +D

Raccogliamo parzialmente rispetto alle potenze di x

x^2=(A+C)x^3+ (A+B-C+D)x^2+ (-A+2B - C-2D)x-A+B+C+D

Teniamo sempre a mente l'obiettivo: determinare le costanti in modo che sussista l'uguaglianza. Ci viene in soccorso il principio di identità dei polinomi il quale fornisce la condizione necessaria e sufficiente affinché due polinomi siano uguali: i coefficienti dei termini dello stesso grado devono coincidere.

Il principio ci permette di costruire il sistema lineare

\begin{cases}A+C=0 \\ A+B-C+D=1 \\ -A+2B - C-2D=0 \\ -A+B+C+D=0\end{cases}

Esistono diversi approcci per risolverlo, il facile è certamente il metodo di sostituzione grazie al quale deduciamo i valori delle quattro costanti:

A=\frac{1}{4}, \ B=\frac{1}{4}, \ C=-\frac{1}{4}, \ D=\frac{1}{4}

È grazie a tali valori che possiamo esprimere l'integranda come segue

\frac{x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}-\frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}

dunque l'integrale da risolvere diventa

\\ \int\frac{x^2}{(x^2-1)^2}dx= \\ \\ \\ = \int\left[\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2}-\frac{1}{4(x+1)}+\frac{1}{4(x+1)^2}\right]dx=

e grazie alle proprietà degli integrali diventa

=\frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}dx+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2}dx-\frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}dx+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x+1)^2}dx=(\bullet)

Siamo passati da un integrale abbastanza elaborato a 4 integrali immediati (o quasi), infatti

\\ \int\frac{1}{x-1}dx=\ln(|x-1|)+c_1, \ \ \mbox{ con }c_1\in\mathbb{R} \\ \\ \\ \int \frac{1}{x+1}dx= \ln(|x+1|)+c_2 \ \ \ \mbox{ con }c_2\in\mathbb{R}

entrambi sono integrali immediati del tipo

\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln(|f(x)|)+k

Gli integrali rimasti si calcolano mediante la regola di integrazione delle potenze in forma generale, ma prima è necessario manipolare algebricamente l'espressione così da ricondurci ad un integrale del tipo

\int f'(x)\cdot [f(x)]^{n}dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+k\mbox{ con }n\ne -1 \ \ \ \ (\heartsuit)

Non rimaniamo troppo sul teorico, mettiamo in atto ciò che abbiamo espresso finora

\\ \int\frac{1}{(x-1)^2}dx= \int (x-1)^{-2}dx= \\ \\ \\ \frac{(x-1)^{-1}}{-1}+c_3= \frac{-1}{x-1}+c_3\mbox{ con }c_3\in\mathbb{R}

mentre

\\ \int\frac{1}{(x+1)^2}dx=\int (x+1)^{-2}dx= \\ \\ \\ =\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+c_4= -\frac{1}{x+1}+c_4\mbox{ con }c_4\in\mathbb{R}

Osserviamo che per risolvere gli ultimi due integrali abbiamo fatto uso delle potenze con esponente negativo per mettere in chiaro la possibilità di applicare la formula che abbiamo indicato con (\heartsuit).

Finalmente abbiamo tutti gli elementi per portare a termine l'integrale

\\ (\bullet)=\frac{1}{4}\ln(|x-1|)+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{x-1}\right)-\frac{1}{4}\ln(|x+1|)+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{x+1}\right)+k=

L'integrale è risolto, d'ora in poi i passaggi serviranno esclusivamente per esprimere in modo elegante il risultato

\\ =\frac{1}{4}\ln(|x-1|)-\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4}\ln(|x+1|)-\frac{1}{4(x+1)}+k=

Grazie alle proprietà dei logaritmi e con qualche semplice calcolo possiamo concludere che il risultato è

=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{|x-1|}{|x+1|}\right)-\frac{x}{2(x^2-1)}+k

con k costante reale additiva.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Metodo delle frazioni parziali applicato agli integrali indefiniti #94260

avt
Faefnir
Punto
Grazie infinite!
Ringraziano: Ifrit
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Os