Esercizio sviluppo di MacLaurin e serie di potenze

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Esercizio sviluppo di MacLaurin e serie di potenze #94025

avt
matte941994
Punto
Vorrei capire come risolvere un esercizio sullo sviluppo di Taylor-Mc Laurin di una funzione e sulle serie di potenze.

Si tratta di una serie di quesiti:

f(x)=x\log(1+5x)

A) La serie di MacLaurin della funzione è

\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}5^n}{n}x^n

B) La serie di MacLaurin della funzione non converge in
x=-\frac{1}{5}.

C) f^{'''}(0)=0

D) f^{26}(0)= \frac{5^{25}}{25}\cdot (26!)

Diciamo che l'intero argomento fatico a digerirlo, in particolare sulla risoluzione del punto D).

Grazie mille!
 
 

Re: Esercizio sviluppo di MacLaurin e serie di potenze #94047

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matte941994,

pur essendo Domenica, anticipo di un bel po' i tempi previsti per la risposta. Esercizio estremamente interessante, ti mostro come procedere!

Il punto di partenza consiste nella scrittura dello sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione

f(x)=x\log(1+5x)

Per procedere facciamo riferimento allo sviluppo di Mc Laurin della funzione elementare

g(x)=\log(1+x)

che è dato per buono:

g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}

Per ricavare lo sviluppo di Mc Laurin della funzione f procediamo con le tecniche esposte nella lezione come calcolare gli sviluppi di Taylor

\log(1+5x)=g(5x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(5x)^n}{n}

e successivamente

f(x)=x\log(1+5x)=xg(5x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(5x)^n}{n}

Ora siamo pronti per rispondere alle varie domande.

A) La serie di MacLaurin della funzione è

\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}5^n}{n}x^n

Falso, ma attenzione: il problema non è l'esponente del termine (-1) (osserva che scrivere n+1 oppure n-1 sortisce lo stesso effetto), bensì il coefficiente x che non compare nella serie proposta.

B) La serie di MacLaurin della funzione non converge in x=-\frac{1}{5}.

Vero, vediamo perché: sostituiamo x=-\frac{1}{5} nello sviluppo di Mc Laurin

f(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(5x)^n}{n}

da cui

-\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(-1)^n}{n}

Osservando che (-1)^{n+1}\cdot (-1)^n=-1 per ogni n, otteniamo

\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

Tale serie non converge poiché è proprio la serie armonica, che è notoriamente divergente.

Per tua informazione, e come puoi dedurre da una semplice analisi, lo sviluppo di Mc Laurin della funzione f è una serie di potenze che converge puntualmente sull'intervallo \left(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right].

C) f^{'''}(0)=0

Veniamo alla parte veramente interessante dell'esercizio. Consideriamo lo sviluppo di Mc Laurin della funzione f

f(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(5x)^n}{n}

e scriviamone i primi termini non nulli, ad esempio i primi 4

\\ f(x)=x\left(5x-\frac{25}{2}x^2+\frac{125}{3}x^3-\frac{625}{4}x^4+...\right)\\ \\ \\ =5x^2-\frac{25}{2}x^3+\frac{125}{3}x^4-\frac{625}{4}x^5+...

Se confrontiamo l'espressione suscritta con l'espressione generale sello sviluppo di Taylor con centro x_0=0

\\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\ \ \ (\mbox{con }x_0=0)\\ \\ \\ =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\\ \\ \\ =f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+...

Vediamo subito che la valutazione della derivata n-esima della funzione f^{(n)}(0) è legato al coefficiente a_n della potenza n-esima, secondo la relazione

a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}

da cui la relazione inversa

f^{(n)}(0)=a_n\cdot n!

In riferimento a f'''(0) risulta

f'''(0)=a_3\cdot 3!=-\frac{25}{2}\cdot 6=-75

e quindi l'affermazione del punto C) è falsa.

D) f^{26}(0)= \frac{5^{25}}{25}\cdot (26!)

Ragioniamo in modo analogo rispetto al punto C) e ricaviamo il termine a_{26}, ossia il coefficiente associata a x^{26}

f(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(5x)^n}{n}

Attenzione al coefficiente x, alla luce del quale dovremo considerare il termine generale per n=25

x\cdot \frac{(-1)^{25+1}(5x)^{25}}{25}=\frac{5^{25}\cdot x^{26}}{25}

da cui

a_{26}=\frac{5^{25}}{25}

e, in forza della relazione ricavata in precedenza f^{(n)}(0)=a_n\cdot n!

f^{(26)}(0)=a_{26}\cdot 26!=\frac{5^{25}}{25}\cdot 26!
Ringraziano: Galois, CarFaby, matte941994

Re: Esercizio sviluppo di MacLaurin e serie di potenze #94051

avt
matte941994
Punto
grazie per aver risposto di domenica emt
Ringraziano: Omega
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Os