Serie di funzioni riconducibile a una serie di potenze

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Serie di funzioni riconducibile a una serie di potenze #94003

avt
matte941994
Punto
Mi potete aiutare con una serie di funzioni riconducibile ad una serie di potenze?

Data la serie

 \sum_{n=0}^{\infty} (x^2-1)^n

dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

A) converge in  \left (-\sqrt{2}, +\sqrt{2}\right];

B) non converge in x=\frac{1}{2};

C) converge assolutamente in x=-\frac{1}{3};

D) ha per somma la funzione

 S(x)= \frac{1}{2-x^2}

e per ogni x appartiene a \left ( -\sqrt2; +\sqrt2 \right ).

Infine ho una domanda: se io avessi la stessa serie ma in questa forma:

 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x^2-1)^n

allora ciò che cambierebbe è che avrei

 \left | X \right | <R

dove R è il raggio di convergenza, e X=x^2-1 giusto?

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Serie di funzioni riconducibile a una serie di potenze #94010

avt
Ifrit
Ambasciatore
Iniziamo col dire che

\sum_{n=0}^{+\infty}(x^2-1)^n

è più precisamente una serie di funzioni che solo mediante una semplice sostituzione può essere ricondotta ad una serie di potenze.

La sostituzione che ci permette di ricondurci alla teoria delle serie di potenze è

t=x^2-1

grazie alla quale la serie di partenza si riscrive come

\sum_{n=0}^{+\infty}t^n

A conti fatti essa è una serie di potenze notevole che prende il nome di serie geometrica di ragione t.

Dalla teoria sappiamo che essa converge se e solo se la ragione è compresa tra -1\mbox{ e }1 ossia se t soddisfa la doppia disequazione

-1<t<1

e ripristinando la variabile x diventa

-1<x^2-1<1

Risolviamo questa catena di disequazioni addizionando membro a membro 1:

0<x^2<2

da cui si ottiene facilmente che

0<|x|<\sqrt{2}\to (-\sqrt{2},0)\cup (0, \sqrt{2})

L'unione di intervalli rappresenta l'insieme di convergenza della serie di partenza.

I=(-\sqrt{2},0)\cup(0, +\sqrt{2})

NB: se la serie di partenza fosse stata una serie di potenze allora l'insieme di convergenza sarebbe stato certamente un intervallo tuttalpiù degenere e non l'unione di intervalli.

B) non converge per x=\frac{1}{2}

Tale proposizione è naturalmente falsa giacché x=\frac{1}{2} appartiene all'insieme di convergenza della serie.

\frac{1}{2}\in I

C) Converge assolutamente in x=-\frac{1}{3}.

Possiamo controllare la convergenza assoluta per x=-\frac{1}{3} sostituendo ad ogni occorrenza di x il valore -\frac{1}{3} ottenendo

\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\left(-\frac{1}{3}\right)^2-1\right)^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\frac{8}{9}\right)^{n}=

Facciamo intervenire le proprietà delle potenze così da esprimere la serie come

\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\left(\frac{8}{9}\right)^n

da cui si evince che è una serie a segni alterni. Studiamone la convergenza assoluta considerando

\sum_{n=0}^{+\infty}\left|(-1)^{n}\left(\frac{8}{9}\right)^n\right|=

che per le proprietà del valore assoluto si riscrive come

=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^n

ossia come una serie geometrica di ragione q=\frac{8}{9} e dunque convergente.

Possiamo concludere che la serie data converge assolutamente per x=-\frac{1}{3}

Osservazione: naturalmente potevamo evitare questa tiritera calcolotica notando che la serie geometrica converge assolutamente nel momento in cui la ragione q è compresa tra -1 e 1 ossia -1<q<1.

D) Ha per somma

S(x)=\frac{1}{2-x^2}

e per ogni x\in (-\sqrt{2},\sqrt{2}).

Tale proposizione è falsa per via dell'insieme di convergenza, sebbene la somma della serie di funzioni sia corretta e derivi dalla somma della serie geometrica.

Sappiamo infatti che quando -1<t<1 allora

\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=\frac{1}{1-t}

e ripristinando la variabile x

\sum_{n=0}^{+\infty}(x^2-1)^n=\frac{1}{1-(x^2-1)}= \frac{1}{2-x^2}

ma attenzione! Questa uguaglianza sussiste nel momento in cui

-1<t<1\mbox{ ossia }-1<x^2-1<1

e dunque quando

x\in (-\sqrt{2},0)\cup (0, +\sqrt{2}).

Non ci resta che rispondere all'ultima domanda. È fondamentale che tu comprenda che una serie del tipo

\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x^2-1)^n\ \ \ (1.1)

non è una serie di potenze perché non si presenta nella forma

\sum_{n=0}^{+\infty}b_n(x-x_0)^n

In una serie di potenze, tutte le basi sono polinomi di grado 1 ed il coefficiente di x è sempre pari ad 1.

Fortunatamente però una sostituzione furba permette di ricondurre la serie (1.1) ad una serie di potenze e di conseguenza siamo autorizzati a utilizzare la teoria che le riguarda stando sempre attenti a mutare ciò che deve essere mutato.
Ringraziano: Omega, CarFaby, matte941994

Re: Serie di funzioni riconducibile a una serie di potenze #94012

avt
matte941994
Punto
Molte grazie, risolti i dubbi!
Ringraziano: Ifrit
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Os