Esercizio convergenza puntuale, assoluta, uniforme serie di potenze

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Esercizio convergenza puntuale, assoluta, uniforme serie di potenze #93992

avt
matte941994
Punto
Ho due dubbi riguardanti un esercizio sulla convergenza puntuale, assoluta e uniforme di una serie di potenze:

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)x^n

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Esercizio convergenza puntuale, assoluta, uniforme serie di potenze #94000

avt
Omega
Amministratore
Ti mostro come procedere alla risoluzione dell'esercizio e nel frattempo do una risposta ai tuoi dubbi. emt

Vogliamo studiare la convergenza puntuale, assoluta e uniforme della serie di potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)x^n

e anticipo che la lezione del precedente link è il nostro riferimento principale per la teoria.

Confrontando la serie di potenze con la forma generale

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n

si vede subito che il centro della serie di potenze è x_0=0. Per il calcolo del raggio di convergenza conviene appellarsi al criterio di Cauchy-Hadamard, o della radice, e calcolare

\ell=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

ossia

\ell=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\frac{3^n}{n+3}}=

Poiché nel radicando numeratore e denominatore sono positivi possiamo applicare le proprietà dei radicali e calcolare equivalentemente

=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt[n]{3^n}}{\sqrt[n]{n+3}}=3

dove il risultato si ricava applicando il limite notevole della successione per la radice n-esima, non prima di aver applicato l'ovvia stima asintotica \sqrt[n]{n+3}\sim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}.

Poiché il risultato del limite è finito, dal criterio sappiamo che il raggio di convergenza è dato dal suo reciproco

R=\frac{1}{\ell}=\frac{1}{3}

Il passo successivo consiste nello studio della serie di potenze agli estremi dell'intervallo di convergenza. Per il momento sappiamo solo che la serie converge puntualmente sull'intervallo \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).

Per x=-\frac{1}{3} la serie di potenze diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)^n

che, in forza delle proprietà delle potenze e con un'immediata semplificazione, possiamo riscrivere come

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{n+3}

Da qui si vede che essa è una serie numerica a segni alterni. Essendo b_n=\left\{\frac{1}{n+3}\right\}_n piuttosto semplice, ben si presta all'applicazione del criterio di Leibniz:

\bullet\ b_n è certamente una successione a termini non negativi

\bullet\ b_n è una successione infinitesima, poiché

\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+3}=0

\bullet\ b_n è definitivamente una successione non crescente, infatti

\frac{1}{n+3}\geq \frac{1}{(n+1)+3}=\frac{1}{n+4}

("dividendo una medesima quantità, 1, per una quantità più grande si ottiene un rapporto più piccolo").

Il criterio di Leibniz ci permette di concludere che la serie numerica converge, quindi la serie di potenze converge in x=-\frac{1}{3}.

Per x=\frac{1}{3} la serie di potenze diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^n

ossia

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+3}

e tale serie numerica è evidentemente divergente in forza del criterio del confronto asintotico, poiché il termine generale è asintoticamente equivalente al termine generale della serie armonica.

In definitiva l'intervallo di convergenza puntuale della serie di potenze è dato da \left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right).


Riguardo all'insieme di convergenza assoluta, si tratta di capire per quali valori di x la serie di potenze è assolutamente convergente, ossia per quali valori di x si riduce a una ]serie numerica assolutamente convergente.

Ciò si traduce nello studio della convergenza puntuale della serie di potenze con termine generale in valore assoluto

\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\left(\frac{3^n}{n+3}\right)x^n\right|

Niente di più facile. Dalle proprietà del valore assoluto, essendo a_n>0\ \forall n, possiamo scrivere

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)|x^n|

e successivamente

\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3^n}{n+3}\right)|x|^n

Per i valori di x negativi si comporta come nei corrispondenti valori di x positivi. I punti in cui tale serie di potenze converge puntualmente sono i punti in cui la serie di potenze originaria converge assolutamente.

Questa osservazione ci permette di capire senza alcun conto che la serie di potenze originaria converge assolutamente sull'intervallo \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).

D'altronde non servono nemmeno calcoli per capire che la convergenza assoluta non sussiste per x=-\frac{1}{3}, perché otteniamo in valore assoluto la medesima serie che avevamo con x=\frac{1}{3}.


Da ultimo, per la convergenza uniforme applichiamo il teorema di Abel, essendo l'intervallo di convergenza puntuale \left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) concludiamo che la serie di potenze converge uniformemente in qualsiasi ]intervallo chiuso contenuto nell'intervallo di convergenza puntuale.


I tuoi dubbi.

1) In riferimento allo studio della convergenza puntuale in x=-\frac{1}{3}.

io qui sto calcolando la convergenza puntuale e quindi NON posso usare il criterio della convergenza assoluta perché lo uso solo quando cerco di calcolare l'insieme di convergenza assoluto. Quindi per la convergenza puntuale uso Leibniz. Giusto?

Al contrario. Quando valuti la serie di potenze in uno dei due estremi, ottieni una serie numerica. Su tale serie numerica puoi applicare qualsiasi principio tu voglia e che ti permetta di desumerne il comportamento.

2) In riferimento all'applicazione del teorema di Abel.

in questo caso io per definizione so che \rho è sempre compreso tra 0 ed il raggio di convergenza?

La questione è semplice ma non come l'hai esposta. Per Abel è fondamentale considerare il comportamento della serie di potenze sul più grande intervallo che puoi costruire con il raggio di convergenza e a partire dal centro della serie.

A seconda del comportamento agli estremi, dovrai includere o escludere gli estremi nell'intervallo di convergenza puntuale.

Fatto questo, sai che la convergenza uniforme è garantita in qualsiasi intervallo chiuso (e limitato) contenuto nell'intervallo di convergenza puntuale.

A tal proposito nella nostra lezione sulle serie di potenze c'è una scaletta pensata proprio per lo scopo. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, matte941994

Esercizio convergenza puntuale, assoluta, uniforme serie di potenze #94001

avt
matte941994
Punto
Grazie, ora ho capito. emt
Ringraziano: Omega
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Os