Rappresentazione grafica di una serie di potenze

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Rappresentazione grafica di una serie di potenze #93903

avt
Final
Punto
Ho qualche difficoltà con questo esercizio sull'intervallo di convergenza di una serie di potenze e sulla rappresentazione grafica della funzione somma.

Data

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}(x-1)^n

- determinare l'intervallo di convergenza I della serie attraverso cui f è definita;

- disegnare approssimativamente il grafico di f in un intorno del punto 1.

Riporto di seguito i miei ragionamento per quanto riguarda la prima parte dell'esercizio.

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Rappresentazione grafica di una serie di potenze #93907

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio chiede di studiare la serie di potenze centrata in x_0=1

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}(x-1)^{n}

I coefficienti associati alla serie di potenze sono definiti mediante la successione con termine n-esimo

a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}

Calcoliamo il raggio di convergenza della serie di potenze mediante il criterio del rapporto:

\\ \ell=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \\ \\ \ = \lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}}=1

Il raggio di convergenza è conseguentemente

R=\frac{1}{\ell}=1

La serie di potenze converge assolutamente nell'intervallo definito mediante la disequazione con valore assoluto

|x-x_0|<R\to |x-1|<1

che conduce alla doppia disequazione

-1<x-1<1

da cui sommando membro a membro 1

0<x<2

Dobbiamo analizzare il comportamento per x=0 e per x=2.

Per x=0 la serie di partenza diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=(\bullet)

Attenzione: per le proprietà delle potenze si ha che:

(-1)^{2n}= [(-1)^2]^n= 1

dunque la serie si riscrive come

(\bullet)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}

che non è una serie a segni alterni, dunque non puoi applicare il criterio di Leibniz.

Per studiarne il comportamento, utilizziamo il criterio del confronto asintotico per le serie determinando una stima asintotica per la successione

\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}

Per n\to +\infty sussiste la seguente equivalenza asintotica

\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{n}

Per x=0 la serie ha lo stesso comportamento della serie armonica

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

notoriamente divergente. Non vi è quindi convergenza in x=0.

Osservazione: il fatto che il termine n-esimo della serie sia infinitesimo è condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie stessa. Ti invito a leggere la lezione sulla condizione necessaria di Cauchy per le serie.

Per x=2 la serie di partenza diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+n^2}}

che è effettivamente una serie a segni alterni convergente e lo si può dimostrare mediante il criterio di Leibniz infatti detta

b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+n^2}}

essa è una successione:

- positiva;

- decrescente;

- infinitesima per n\to +\infty.

Leibniz assicura che la serie converge. In definitiva l'intervallo di convergenza è

I=(0, 2]

Occupiamoci della seconda parte dell'esercizio: dobbiamo disegnare un grafico qualitativo della funzione

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}(x-1)^n

Osservando che in realtà l'espressione che trovi al secondo membro è lo sviluppo di Taylor associato ad f(x) centrato nel punto x_0=1

In questo caso è sufficiente considerare i termini fino al secondo ordine e trascurare quelli successivi per avere informazioni locali sul grafico di f(x)

f(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)+\frac{1}{\sqrt{6}}(x-1)^2+o((x-1)^2)

dove con o((x-1)^2) indico l'o-piccolo di (x-1)^2 e ci permette di trascurare tutti termini di ordine superiore a 2.

Ora tieni a mente la relazione che lega i coefficienti della serie di Taylor e le derivate successive della funzione f(x) nel centro x_0:

c_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\implies f^{(n)}(x_0)=n!c_n

dove c_n è il coefficiente associato al termine (x-x_0)^{n} ed n! è il fattoriale di n.

L'espressione appena scritta permette di asserire che

a) \ f(1)=0 dunque la funzione passa per il punto (1, 0);

b) \ f'(1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0 dunque la funzione è decrescente in almeno un intorno di x=1;

c) \ f''(1)=\frac{2}{\sqrt{6}}>0 pertanto esiste un intorno di 1 in cui la funzione è convessa.

In definitiva possiamo concludere che in un intorno di x_0=1 \ \ f(x) è decrescente e convessa.

grafico funzione serie di potenze
Ringraziano: Omega, CarFaby, Final

Rappresentazione grafica di una serie di potenze #93920

avt
Final
Punto
Grazie mille per la risposta, è tutto chiaro!

In generale, avresti qualche consiglio da darmi per risolvere queste serie di potenze?

Determinare il raggio di convergenza non è un problema, i principali problemi sorgono quando devo analizzare gli estremi dell'intervallo di convergenza, spesso sbaglio o comunque non riesco a ricondurmi ad una serie notevole.

In questo caso avevo persino intuito che

(-1)^{2n} = ((-1)^2)^n

quindi pari ad 1, ma credevo potessi tranquillamente ricondurmi alla serie notevole che ho citato, ma sbagliavo.
Ringraziano: Ifrit

Rappresentazione grafica di una serie di potenze #93929

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Final, l'unico modo per superare questo scoglio è quello di affrontare molti esercizi e capire come comportarsi di volta in volta.

A tal proposito consiglio la scheda di esercizi sulle serie di potenze e se non bastassero puoi sempre utilizzare la barra di ricerca interna: troverai tantissime discussioni sull'argomento.
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Os