Disequazione goniometrica con traslazione del seno e della tangente

Buongiorno

ho questa disequazione:



ho cercato la soluzione graficamente ma gradirei altre alternative.

Grazie e saluti

Ci viene richiesto di risolvere la disequazione trigonometrica in cui intervengono il seno e la tangente



che, attenzione, non rientra nelle casistiche risolutive standard. Possiamo però vederla come una disequazione risolvibile mediante la regola dei segni (per approfondire - disequazioni con la regola dei segni).

In sostanza è sufficiente studiare il segno di ciascun fattore, e in un secondo momento estrapolare l'insieme sul quale il prodotto è negativo o nullo.

Possiamo semplificarci lo studio osservando che il periodo del prodotto



è , pertanto siamo autorizzati a lavorare sull'intervallo e poi estendere per periodicità (puoi leggere la lezione dedicata alle funzioni periodiche).

Cominciamo con lo studio del segno del primo fattore e chiediamoci per quali valori di la seguente disequazione trigonometrica è soddisfatta



Tenendo a mente che la funzione seno è positiva o nulla a patto che il suo argomento sia compreso tra e scopriamo che la precedente disequazione è equivalente alla doppia disequazione



che possiamo risolvere in modo furbo aggiungendo membro a membro .



Nell'intervallo scopriamo che il fattore è:

- positivo se

;

- nullo se

;

- negativo se



Ora mettiamo da parte questo risultato e concentriamoci sulla disequazione con la tangente, ossia



senza perdere di vista l'intervallo su cui stiamo lavorando che, ribadiamo, è . Dobbiamo prima di tutto richiedere che la tangente esista, altrimenti perderebbe di significato la disequazione stessa.

Imponiamo la condizione di esistenza della tangente (o se vuoi determiniamo il dominio della tangente): essa esiste se il suo argomento è diverso da .

Attenzione: gli unici valori che appartengono all'intervallo sono che si ottiene per e che si ottiene per .

In definitiva dobbiamo richiedere che



da cui



Ordunque risolviamo la disequazione



tenendo a mente che la funzione tangente è non negativa nell'intervallo nel momento in cui l'argomento è un angolo del primo o del terzo quadrante, ossia



Sommiamo membro a membro 1, così da ottenere



Possiamo asserire quindi che il fattore è:

- positivo per

;

- nullo per

;

- negativo per



Abbiamo a disposizione i segni di ciascun fattore possiamo costruire la tabella dei segni, sempre riferita all'intervallo .

Nota: nella tabella che segue è il fattore



è il fattore e con indico il prodotto

.

Sulla prima riga riportiamo il segno del primo fattore, sulla seconda quello del secondo fattore e sull'ultima invece calcoliamo il segno del prodotto mediante la regola dei segni.


(clicca qui per ingrandire) da cui si evince che



se e solo se



Ora non ci resta che estendere con periodicità l'insieme di soluzioni trovato e concludere che la disequazione ha per insieme soluzione



dove è un intero.