Quesiti sulle funzioni integrali

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Quesiti sulle funzioni integrali #93788

avt
iconicsoul
Punto
Vorrei sottoporvi un esercizio di esame del mio corso di Analisi 1, è un quesito sulla funzione integrale.

Non si tratta propriamente di uno studio della funzione integrale: infatti l'esercizio è della tipologia vero/falso e a mio avviso non dovrebbe richiedere chissà quali calcoli, piuttosto un occhio attento e, a monte, la reale comprensione della teoria.

Sia f(x)=[1+\sin(2x)] con x\in[-\pi,\pi], dove [\cdot] denota la parte intera, e sia

F(x)=\int_0^xf(t)dt

Allora

1) F è continua - vero o falso?

2) F è derivabile - vero o falso?

3) F è pari - vero o falso?

\mbox{Sia }f(x)=\frac{2x}{(x^2)^2+1}\mbox{ e }F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\mbox{ per }x\in\mathbb{R}

1) F è dispari - vero o falso?

2) F è limitata in R - vero o falso?

3) F(x)<0\ \forall x\in\mathbb{R} - vero o falso?

4) F è derivabile in \mathbb{R} - vero o falso?

Come risolvere questo genere di esercizi? Qual è la teoria che mi manca per saper rispondere a quesiti simili in generale?

Grazie davvero!
 
 

Re: Quesiti sulle funzioni integrali #93804

avt
Omega
Amministratore
Ciao IconicSoul,

prima di entrare nel merito degli esercizi che hai proposto, una considerazione generale sul metodo per rispondere a questo genere di quesiti.

Non esiste un metodo generale che ti permetta di rispondere a tutti i possibili quesiti di questo tipo. :(

Come hai correttamente intuito serve il cosiddetto occhio clinico, ma è ancor più fondamentale conoscere a menadito la teoria degli integrali e tutto il bagaglio di Analisi pregresso. Avendo solide basi teoriche ci creiamo l'opportunità per rispondere correttamente e compensiamo eventuali cali di intuito. emt

Come ulteriore osservazione, è vero che questi esercizi non richiedono lo studio della funzione integrale. Cionondimeno avere buona dimestichezza con lo studio delle funzioni integrali può aiutarti moltissimo ad interpretare correttamente le varie domande poste dai quesiti.

Primo esercizio

Sia f(x)=[1+\sin(2x)] con x\in[-\pi,\pi], dove [\cdot] denota la parte intera, e sia

F(x)=\int_0^xf(t)dt

Qui non serve alcun calcolo ma dobbiamo comunque avere un'idea precisa di come sia fatta la funzione integranda.

Partiamo dal grafico della funzione seno y=\sin(x)

quesito grafico 1

e, mediante le regole del grafico intuitivo, ricaviamo il grafico di y=\sin(2x)

quesito grafico 2

e quello di y=1+\sin(2x)

quesito grafico 3

Da ultimo applichiamo la funzione parte intera

quesito grafico 4

Attenzione perché nel grafico non viene visualizzato il valore y=2 per x=-\frac{3}{4}\pi,\ x=\frac{\pi}{4}

Abbiamo a che fare con una funzione che possiamo definire a tratti, ma non ne scriviamo l'espressione analitica per rami. Ci basterà guardare il grafico.

1) F è continua - vero o falso?

Vero. La funzione integrale è una funzione continua su [-\pi,\pi].

In accordo con i risultati sulle classi di funzioni integrabili, la funzione integranda è integrabile su [-\pi,\pi] perché essa è:

- limitata

- presenta un numero finito di punti di discontinuità.

Poiché la funzione integranda è limitata e integrabile su [-\pi,\pi], per il primo teorema fondamentale del calcolo integrale concludiamo che la funzione integrale F è continua su [-\pi,\pi].

2) F è derivabile - vero o falso?

Falso. Per rispondere ci serve il teorema fondamentale del calcolo integrale nella sua interezza: la funzione integranda è definita a tratti ed è continua a tratti, poiché presenta un numero finito di punti di discontinuità.

Se consideriamo gli intervalli sui cui la funzione integranda è continua, allora possiamo applicare localmente il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Localmente, cioè sugli intervalli su cui f è continua, sappiamo che la funzione integrale F è derivabile. La derivata della funzione integrale coincide in ogni punto con la valutazione dell'integranda.

Queste considerazioni ci permettono di concludere che, ad eccezione dei punti di discontinuità, il grafico dell'integranda è il grafico della derivata di F(x).

A questo punto basta ricordare la relazione tra funzione e derivata e osservare che F(0)=0 per una nota proprietà degli integrali. In questo modo possiamo disegnare il grafico della funzione integrale su [-\pi,\pi] ad eccezione dei punti di discontinuità della funzione integranda.

Così facendo si vede facilmente che i punti di discontinuità dell'integranda sono necessariamente punti angolosi.

In conclusione F non è derivabile su [-\pi,\pi].

quesito grafico 5


3) F è pari - vero o falso?

Falso, F è una funzione né pari né dispari. Lo si intuisce dal grafico dell'integranda: in termini più precisi basta considerare un punto

\overline{x}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

per cui, grazie al significato geometrico dell'integrale di Riemann

F(\overline{x})=\int_0^{\overline{x}}f(t)dt>0

D'altra parte, in forza di una nota proprietà degli integrali

F(-\overline{x})=\int_0^{-\overline{x}}f(t)dt=-\int_{-\overline{x}}^0f(t)dt=0


Secondo esercizio

\mbox{Sia }f(x)=\frac{2x}{(x^2)^2+1}\mbox{ e }F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\mbox{ per }x\in\mathbb{R}

Qui è tutto nettamente più facile, c'è addirittura un indizio da parte del redattore. emt

Un occhio sufficientemente allenato non ha bisogno di calcoli per stabilire che

F(x) = \int_0^x{\frac{2t}{(t^2)^2+1} dt}=\arctan(x^2)

Con questo suggerimento rispondere alle domande del secondo esercizio è banale:

1) F è dispari - vero o falso?

Falso, è una funzione pari.

2) F è limitata in \mathbb{R} - vero o falso?

Vero! Ricordiamoci come si comporta la funzione arcotangente...

3) F(x)<0\ \forall x\in\mathbb{R} - vero o falso?

Falso, ovviamente. L'arcotangente è non negativa per qualsiasi valore non negativo dell'argomento.

4) F è derivabile in \mathbb{R} - vero o falso?

Vero, perché è composizione di funzioni derivabili su tutto \mathbb{R}.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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Os