Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un O-grande

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Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un O-grande #93663

avt
Christian1988
Cerchio
Vi propongo un esercizio sugli sviluppi asintotici al massimo ordine consentito da un O-grande.

Determinare lo sviluppo asintotico per x → ∞ della seguente espressione al massimo ordine consentito dall'imprecisione presente nella stessa:

f(x) = √(x^6+x^5-2x^3+O(x^2))
 
 

Re: Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un O-grande #93666

avt
Omega
Amministratore
Ciao Christian1988,

questo esercizio è uno stretto cugino di quello che hai proposto qualche tempo fa: sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un o-piccolo.

Il calcolo dello sviluppo asintotico per x → +∞ andrà effettuato mediante gli sviluppi di Taylor. Vediamo come procedere.

f(x) = √(x^6+x^5-2x^3+O(x^2))

Raccogliamo un x^6 nella radice

f(x) = √(x^6(1+(1)/(x)-(2)/(x^3)+(1)/(x^6)O(x^2)))

e riscriviamo l'imprecisione applicando le regole dell'Algebra degli O-grande, che vanno ricordate alla perfezione per affrontare un esercizio del genere.

f(x) = √(x^6(1+(1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4))))

da cui ricaviamo

f(x) = x^3√(1+(1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))

Il secondo fattore ci piace molto perché per x → +∞ risulta

(1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)) → _(x → +∞)0

Quindi possiamo servirci dello sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione g(t) = √(1+t), che è a noi noto. Ci basterà porre

t = (1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4))

Qui si pone innanzitutto il problema dell'ordine di sviluppo, e a ben vedere se ne pone ancor prima un altro. Noi siamo avvezzi a scrivere gli sviluppi di Taylor servendoci degli o-piccolo.

Scriviamo a titolo di esempio lo sviluppo di √(1+t) all'ordine 6

√(1+t) = _01+(t)/(2)-(t^2)/(8)+(t^3)/(16)-(5)/(128)t^4+(7)/(256)t^5-(21)/(1024)t^6+o(t^6) (•)

Nel nostro caso dobbiamo lavorare con gli O-grande. Nessun problema: per definizione di O-grande

p(x) = O(q(x)) per x → x_0 ⇔ lim_(x → x_0)(p(x))/(q(x)) = ell∈R

e per definizione di o-piccolo

se lim_(x → x_0)(p(x))/(q(x)) = 0 ⇒ p(x) = o_(x_0)(q(x))

In parole povere l'o-piccolo ingloba tutti gli infinitesimi di ordine superiore all'argomento, mentre l'O-grande ingloba tutti gli infinitesimi dello stesso ordine e di ordine superiore rispetto all'argomento.

Lo sviluppo (•) può quindi essere riscritto in termini di O-grande nella forma seguente:

√(1+t) = _01+(t)/(2)-(t^2)/(8)+(t^3)/(16)-(5)/(128)t^4+(7)/(256)t^5+O(t^6) (•)

e come puoi vedere l'O-grande ingloba l'ultimo termine di sviluppo, perché ingloba tutto ciò che è del medesimo ordine rispetto all'argomento.

Chiarito ciò possiamo passare al nocciolo della questione: come dobbiamo usare lo sviluppo di Taylor-Mc Laurin e a che ordine dobbiamo fermarci?

È la stessa imprecisione O((1)/(x^4)) a suggerircelo: dobbiamo considerare uno sviluppo di Taylor-Mc Laurin ad un ordine tale da non farci perdere alcun termine di ordine inferiore a (1)/(x^4). Tutti i termini di ordine pari o superiore a (1)/(x^4) verranno inglobati dall'imprecisione stessa.

Poiché

t = (1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4))

sembra proprio che sia necessario spingersi ad un ordine di sviluppo pari a 4

√(1+t) = _01+(t)/(2)-(t^2)/(8)+(t^3)/(16)+O(t^4) (•)

È corretto? Lo è, perché se ci spingessimo al 5° ordine la quarta potenza di t produrrebbe termini che verrebbero inglobati in O((1)/(x^4)). Non sarebbe sbagliato, sarebbe inutilmente calcolotico.

Di contro, uno sviluppo ad un ordine inferiore escluderebbe alcuni termini che non verrebbero inglobati dall'O-grande. Questo sarebbe un errore.

È dunque certo che per i nostri scopi l'ordine di sviluppo minimo è 4, che è anche l'ordine di sviluppo ottimale per i calcoli.

√(1+((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))) = 1+(((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4))))/(2)+;-(((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))^2)/(8)+;+(((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))^3)/(16)+;+O(((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))^4)

Non dobbiamo necessariamente calcolare tutti i termini di sviluppo delle potenze; per comodità possiamo limitarci a scrivere quelle che hanno un grado minore di 4. Non dimentichiamoci i doppi prodotti!

√(1+((1)/(x)-(2)/(x^3)+O((1)/(x^4)))) = 1+(1)/(2x)-(1)/(x^3)+(1)/(2)O((1)/(x^4))+;-((1)/(x^2))/(8)+;+((1)/(x^3))/(16)+;+O((1)/(x^4))

Nota che ho omesso tutti i termini di grado maggiore o uguale a 4: non devi nemmeno calcolarli, basta analizzarli a mente individuando il grado che ottieni dai prodotti.

In definitiva

f(x) = x^3[1+(1)/(2x)-(1)/(x^3)+(1)/(2)O((1)/(x^4))-(1)/(8x^2)+(1)/(16x^3)+O((1)/(x^4))]

Grazie all'algebra degli O-grande

f(x) = x^3[1+(1)/(2x)-(1)/(x^3)-(1)/(8x^2)+(1)/(16x^3)+O((1)/(x^4))]

e con semplici calcoli

f(x) = x^3[1+(1)/(2x)-(1)/(8x^2)-(15)/(16x^3)+O((1)/(x^4))]

da cui

f(x) = x^3+(x^2)/(2)-(x)/(8)-(15)/(16)+O((1)/(x))
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, Christian1988
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