Proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio

Non riesco a capire come risolvere un esercizio sul calcolo della proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio rispetto a un prodotto scalare assegnato. Potreste darmi una mano?

Si consideri lo spazio vettoriale formato da tutti e soli i polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali e nell'indeterminata . Sia il suo sottospazio generato dai polinomi



Calcolare la proiezione ortogonale del polinomio



sul sottospazio rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su

Indichiamo con lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali e nell'indeterminata .

Dai dati forniti dalla traccia è noto che:

è il sottospazio vettoriale di generato dai polinomi



è un prodotto scalare definito positivo su tale che:



Ci viene chiesto di calcolare la proiezione ortogonale di



sul sottospazio rispetto al prodotto scalare .

In generale, per calcolare la proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio rispetto a un fissato prodotto scalare occorre:

1) individuare una base di ;

2) ortogonalizzare la base trovata con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt;

3) rendere la base ortogonale una base ortonormale.

Se sono i polinomi che formano una base ortonormale di , la proiezione del polinomio sul sottospazio è data da:



Procediamo!


Calcolo di una base di

Per definizione di sottospazio generato, i polinomi



formano un sistema di generatori di .

Inoltre, se prendiamo due scalari e imponiamo che sia



è evidente la precedente uguaglianza è soddisfatta se e solo se

Da ciò segue che sono linearmente indipendenti, per cui costituiscono una base di .




Ortogonalizzazione di

Una base ortogonale di rispetto al prodotto scalare è:



dove, per Gram-Schmidt, i polinomi sono dati da:



Calcoliamo, a parte, i prodotti scalari che definiscono :



di conseguenza



In definitiva, una base ortogonale di è:




Base ortonormale di

Per determinare una base ortonormale di è sufficiente normalizzare i polinomi di . Più nello specifico, una base ortonormale di è:



dove:



Calcoliamo le norme:



Inoltre:



per cui



In buona sostanza:




Proiezione ortogonale di su

Ci siamo quasi! La proiezione ortogonale di sul sottospazio è data da:



Per comodità, conviene calcolare a parte i prodotti scalari.



Analogamente:



In conclusione, la proiezione ortogonale di su è:



svolgiamo i prodotti



sommiamo i termini simili e riduciamo le frazioni ai minimi termini



Fine!