Proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio

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Proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio #93617

avt
Giggio123
Punto
Non riesco a capire come risolvere un esercizio sul calcolo della proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio rispetto a un prodotto scalare assegnato. Potreste darmi una mano?

Si consideri lo spazio vettoriale \mathbb{R}_2[x] formato da tutti e soli i polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali e nell'indeterminata x. Sia U il suo sottospazio generato dai polinomi

p_1(x)=x \ \ ; \ \ p_2(x)=x^2

Calcolare la proiezione ortogonale del polinomio

g(x)=(1+x)^2

sul sottospazio U rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}_2[x]

\langle p(x),q(x) \rangle = p(0) q(0) + p(1) q(1) + p(-1)q(-1) + p(2)q(2)
 
 

Proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio #93629

avt
Galois
Amministratore
Indichiamo con \mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali e nell'indeterminata x.

Dai dati forniti dalla traccia è noto che:

U è il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_2[x] generato dai polinomi

p_1(x)=x \ \ ; \ \ p_2(x)=x^2

\langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}_2[x] tale che:

\langle p(x),q(x) \rangle = p(0) q(0) + p(1) q(1) + p(-1)q(-1) + p(2)q(2)

Ci viene chiesto di calcolare la proiezione ortogonale di

g(x)=(1+x)^2

sul sottospazio U rispetto al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle.

In generale, per calcolare la proiezione ortogonale di un polinomio g(x) su un sottospazio U rispetto a un fissato prodotto scalare \langle \ , \ \rangle occorre:

1) individuare una base di U;

2) ortogonalizzare la base trovata con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt;

3) rendere la base ortogonale una base ortonormale.

Se u_1(x), u_2(x), ..., u_r(x) sono i polinomi che formano una base ortonormale di U, la proiezione P_U(g(x)) del polinomio g(x) sul sottospazio U è data da:

\\ P_U(g(x))=\langle g(x), u_1(x) \rangle u_1(x)+\langle g(x), u_2(x) \rangle u_2(x)+ \\ \\ +...+\langle g(x), u_r(x) \rangle u_r(x)

Procediamo!


Calcolo di una base di U

Per definizione di sottospazio generato, i polinomi

p_1(x)=x \ \ ; \ \ p_2(x)=x^2

formano un sistema di generatori di U.

Inoltre, se prendiamo due scalari \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} e imponiamo che sia

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) = 0 \ \to \ \lambda_1 x + \lambda_2 x^2 = 0

è evidente la precedente uguaglianza è soddisfatta se e solo se \lambda_1=\lambda_2=0

Da ciò segue che p_1(x), p_2(x) sono linearmente indipendenti, per cui costituiscono una base di U.

\mathcal{B}_{U}=\{p_1(x), p_2(x)\} = \{x,x^2\}


Ortogonalizzazione di \mathcal{B}_U

Una base ortogonale di \mathcal{B}_U rispetto al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è:

\mathcal{B}'_U=\{w_1(x), w_2(x)\}

dove, per Gram-Schmidt, i polinomi w_1(x), w_2(x) sono dati da:

\\ w_1(x)=p_1(x)=x \\ \\ w_2(x)=p_2(x)-\frac{\langle p_2(x), w_1(x)\rangle}{\langle w_1(x), w_1(x)\rangle} w_1(x)

Calcoliamo, a parte, i prodotti scalari che definiscono w_2(x):

\\ \langle p_2(x), w_1(x)\rangle = \\ \\ = p_2(0)w_1(0) + p_2(1) w_1(1) + p_2(-1)w_1(-1) + p_2(2)w_1(2) = \\ \\ = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = \\ \\ = 1-1+8=8 \\ \\ \langle w_1(x), w_1(x)\rangle = \\ \\ = w_1(0)w_1(0) + w_1(1) w_1(1) + w_1(-1)w_1(-1) + w_1(2)w_1(2) = \\ \\ = \left(w_1(0)\right)^2 + \left(w_1(1)\right)^2 + \left(w_1(-1)\right)^2 + \left(w_1(2)\right)^2 = \\ \\ = 0^2+1^2+(-1)^2+2^2 = 1+1+4=6

di conseguenza

\\ w_2(x)=p_2(x)-\frac{\langle p_2(x), w_1(x)\rangle}{\langle w_1(x), w_1(x)\rangle} w_1(x) = \\ \\ \\ = x^2-\frac{8}{6} x = -\frac{4}{3}x+x^2

In definitiva, una base ortogonale di U è:

\mathcal{B}'_U=\{w_1(x), w_2(x)\} = \left\{x, -\frac{4}{3}x+x^2\right\}


Base ortonormale di U

Per determinare una base ortonormale di U è sufficiente normalizzare i polinomi di \mathcal{B}'_U. Più nello specifico, una base ortonormale di U è:

\mathcal{B}''_U=\{u_1(x), u_2(x)\}

dove:

u_1(x)=\frac{1}{||w_1(x)||} \ w_1(x) \ \ \ ; \ \ \ u_2(x)=\frac{1}{||w_2(x)||} \ w_2(x)

Calcoliamo le norme:

||w_1(x)||=\sqrt{\langle w_1(x), w_1(x) \rangle} = \sqrt{6}

Inoltre:

\langle w_2, w_2 \rangle = \left(w_2(0)\right)^2 + \left(w_2(1)\right)^2 + \left(w_2(-1)\right)^2 + \left(w_2(2)\right)^2 = \\ \\ = 0^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{7}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \\ \\ \\ = \frac{1}{9}+\frac{49}{9}+\frac{16}{9} = \frac{66}{9}

per cui

||w_2(x)||=\sqrt{\langle w_2(x), w_2(x) \rangle} = \sqrt{\frac{66}{9}}=\frac{\sqrt{66}}{3}

In buona sostanza:

\\ u_1(x)=\frac{1}{||w_1(x)||} \ w_1(x) = \frac{1}{\sqrt{6}}x \\ \\ \\ u_2(x)=\frac{1}{||w_2(x)||} \ w_2(x) = \frac{3}{\sqrt{66}}\left(-\frac{4}{3}x+x^2\right) = \\ \\ \\ = -\frac{4}{\sqrt{66}}x+\frac{3}{\sqrt{66}}x^2


Proiezione ortogonale di g(x) su U

Ci siamo quasi! La proiezione ortogonale di g(x)=(1+x)^2 sul sottospazio U è data da:

P_U(g(x))=\langle g(x), u_1(x) \rangle u_1(x)+\langle g(x), u_2(x) \rangle u_2(x)

Per comodità, conviene calcolare a parte i prodotti scalari.

\\ \langle g(x), u_1(x)\rangle = \\ \\ = g(0)u_1(0)+g(1)u_1(1)+g(-1)u_1(-1)+g(2)u_1(2) = \\ \\ = 1 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 0 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) + 9 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} = \\ \\ \\ = \frac{4}{\sqrt{6}} + \frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{22}{\sqrt{6}}

Analogamente:

\\ \langle g(x), u_2(x)\rangle = \\ \\ = g(0)u_2(0)+g(1)u_2(1)+g(-1)u_2(-1)+g(2)u_2(2) = \\ \\ = 1 \cdot 0 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{66}}\right) + 0 \cdot \frac{7}{\sqrt{66}} + 9 \cdot \frac{4}{\sqrt{66}} = \\ \\ \\ = -\frac{4}{\sqrt{66}} + \frac{36}{\sqrt{66}} = \frac{32}{\sqrt{66}}

In conclusione, la proiezione ortogonale di g(x) su U è:

\\ P_U(g(x))=\langle g(x), u_1(x) \rangle u_1(x)+\langle g(x), u_2(x) \rangle u_2(x) = \\ \\ = \frac{22}{\sqrt{6}} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}x\right) + \frac{32}{\sqrt{66}} \left(-\frac{4}{\sqrt{66}}x+\frac{3}{\sqrt{66}}x^2\right) =

svolgiamo i prodotti

=\frac{22}{6}x-\frac{128}{66}x+\frac{96}{66}x^2=

sommiamo i termini simili e riduciamo le frazioni ai minimi termini

=\frac{19}{11}x+\frac{16}{11} x^2

Fine!
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Giggio123
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Os