Approssimazione di un polinomio con prodotto scalare su un sottospazio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Approssimazione di un polinomio con prodotto scalare su un sottospazio #93617

avt
Giggio123
Punto
Non riesco a capire come risolvere questo esercizio sulla migliore approssimazione di un polinomio su un sottospazio rispetto a un prodotto scalare assegnato.

Calcolare la migliore approssimazione del polinomio g(x)=(x+1)^2 rispetto al prodotto scalare

(p(x)|q(x)) = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(-1)q(-1) + p(2)q(2)

contenuta nel sottospazio U generato da \{x,x^2\}.
 
 

Approssimazione di un polinomio con prodotto scalare su un sottospazio #93629

avt
Galois
Coamministratore
La migliore approssimazione di un polinomio g(x) in un sottospazio U è data dalla proiezione ortogonale del polinomio g(x) sul sottospazio vettoriale U.

Quindi, il problema si riduce a trovare la proiezione ortogonale del polinomio g(x)=(x+1)^2 sul sottospazio vettoriale U generato dai vettori \{x,x^2\}.

In generale, per trovare la proiezione ortogonale di un polinomio g(x) su un sottospazio U si procede come segue:

1) Si trova una base per il sottospazio U;

2) con il processo di Gram Schmidt si rende tale base ortonormale.

3) La proiezione ortogonale del generico polinomio g(x) su U è il vettore:

\\ p_U[g(x)]=<g(x),e_1(x)>e_1(x)+<g(x),e_2(x)>e_2(x)+ \\ \\ + \cdots+<g(x),e_r(x)>e_r(x)

dove \{e_1(x),e_2(x), ..., e_r(x)\} è una base ortonormale per U.

Tale proiezione sarà la migliore approssimazione del polinomio g(x) su U.

Ovviamente, nello svolgere l'esercizio dato, ogni qualvolta comparirà il prodotto scalare non dovremo utilizzare il prodotto scalare standard ma, attenzione, il prodotto scalare dato dal testo dell'esercizio, ossia

<p(x),q(x)>:=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)+p(2)q(2)

Procediamo.

Dal testo dell'esercizio sappiamo che

U=Span(u_1(x),u_2(x))

con u_1(x)=x, \ u_2(x)=x^2

Quindi, ovviamente, \{x,x^2\} sono un sistema di generatori di U.

Formano una base?

Per rispondere alla domanda dobbiamo verificare se \{x,x^2\} sono linearmente indipendenti. Ovviamente lo sono, in quanto l'unica coppia (a_1,a_2) di scalari che annulla la combinazione lineare

a_1x+a_2x^2

è la coppia (0,0)

Pertanto \{u_1(x),u_2(x)\}=\{x,x^2\} è una base per U.

Dobbiamo ora renderla ortonormale e per far ciò utilizziamo il processo di Gram Schmidt. Poniamo

\\ w_1(x)=u_1(x)=x \\ \\ w_2(x)=u_2(x)-\frac{<u_2(x),w_1(x)>}{<w_1(x),w_1(x)>} w_1(x)

Onde evitare di far confusione calcoliamo separatamente i due prodotti scalari che compaiono nella formula precedente.

Banalmente si vede che

\begin{matrix}u_2(0)=0 & u_2(1)=1 & u_2(-1)=1 & u_2(2)=4 \\ \\ w_1(0)=0 & w_1(1)=1 & w_1(-1)=-1 & w_1(2)=2 \end{matrix}

Pertanto

\\<u_2(x),w_1(x)> = \\ \\ = u_2(0)w_1(0)+u_2(1)w_1(1)+u_2(-1)w_1(-1)+u_2(2)w_2(2)=\\ \\ = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = \\ \\ = 0 + 1 - 1 + 8 = 8 \\ \\ \\ <w_1(x),w_1(x)> = \\ \\ = w_1(0)w_1(0)+w_1(1)w_1(1)+w_1(-1)w_1(-1)+w_1(2)w_2(2)=\\ \\  = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = \\ \\  = 0 + 1 + 1 + 4 = 6

Quindi

w_2(x)=u_2(x)-\frac{<u_2(x),w_1(x)>}{<w_1(x),w_1(x)>} w_1(x)=x^2-\frac{8}{6}x=x^2-\frac{4}{3}x

Abbiamo così trovato una base ortogonale di U:

\left\{w_1(x),w_2(x) \right\}=\left\{x, \ x^2-\frac{4}{3}x \right\}

Dobbiamo ora renderla ortonormale e per far ciò dobbiamo dividere ciascun vettore della base per la sua norma.

\\ ||w_1(x)||=\sqrt{<w_1(x),w_1(x)>}=\sqrt{6} \\ \\ ||w_2(x)||=\sqrt{<w_2(x),w_2(x)>}

Per calcolare <w_2(x),w_2(x)> occorre trovare

\\ w_2(0)=0 \\ \\ w_2(1)=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3} \\ \\ w_2(-1)=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} \\ \\ w_2(2)=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}

Quindi

\\ <w_2(x),w_2(x)> = \\ \\  = 0 \cdot 0 + \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{7}{3}\right) \cdot \left(\frac{7}{3}\right) + \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right)= \\ \\ = 0 + \frac{1}{9}+\frac{49}{9}+\frac{16}{9} = \\ \\ = \frac{66}{9}

Di conseguenza

\\ ||w_1(x)||=\sqrt{<w_1(x),w_1(x)>}=\sqrt{6} \\ \\ ||w_2(x)||=\sqrt{<w_2(x),w_2(x)>}=\sqrt{\frac{66}{9}}=\frac{1}{3}\sqrt{66}

Possiamo ora scrivere la base ortonormale di U che è formata dai polinomi

\\ e_1(x)=\frac{w_1(x)}{||w_1(x)||}=\frac{1}{\sqrt{6}}x \\ \\ e_2(x)=\frac{w_2(x)}{||w_2(x)||}=\frac{3}{\sqrt{66}}\left(x^2-\frac{4}{3}\right)

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per trovare la proiezione ortogonale di g(x)=(x+1)^2 su U che coincide con la migliore approssimazione del polinomio g(x) su U.

p_U[g(x)]=<g(x),e_1(x)>e_1(x)+<g(x),e_2(x)>e_2(x)

dove

\\ g(x)=(x+1)^2 \\ \\ e_1(x)=\frac{1}{\sqrt{6}}x \\ \\ e_2(x)=\frac{3}{\sqrt{66}}\left(x^2-\frac{4}{3}\right)

Ancora una volta, prima di calcolare i due prodotti scalari, calcoliamo singolarmente i valori dei tre polinomi g(x), e_1(x), \ e_2(x) per x=0, \ x=1, \ x=-1, \ x=2

\begin{matrix}g(0)=0 & e_1(0)=0 & e_2(0)=0 \\ \\ g(1)=4 & e_1(1)=\frac{1}{\sqrt{6}} & e_2(1)=-\frac{1}{\sqrt{66}} \\ \\ g(-1)=0 & e_1(-1)=-\frac{1}{\sqrt{6}} & e_2(-1)=\frac{7}{\sqrt{66}} \\ \\ g(2)=9 & e_1(2)=\frac{2}{\sqrt{6}}  & e_2(2)=\frac{4}{\sqrt{66}}\end{matrix}

Pertanto

\\ <g(x),e_1(x)> = \\ \\ = g(0)e_1(0)+g(1)e_1(1)+g(-1)e_1(-1)+g(2)e_1(2)= \\ \\ = \frac{4}{\sqrt{6}}+\frac{18}{\sqrt{6}}=\frac{22}{\sqrt{6}} \\ \\ \\ <g(x),e_2(x)>= \\ \\  = g(0)e_2(0)+g(1)e_2(1)+g(-1)e_2(-1)+g(2)e_2(2)= \\ \\ = -\frac{4}{\sqrt{66}}+\frac{36}{\sqrt{66}}=\frac{32}{\sqrt{66}}

Di conseguenza

\begin{align*}p_U[g(x)]&=<g(x),e_1(x)>e_1(x)+<g(x),e_2(x)>e_2(x)=\\ \\ & = \frac{22}{\sqrt{6}}\cdot \frac{x}{\sqrt{6}}+\frac{32}{\sqrt{66}}\left[\frac{3}{\sqrt{66}}\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)\right]= \\ \\ & = \mbox{...conti...}=\\ \\ & = \frac{16}{11}x^2+\frac{19}{11}x\end{align*}

Possiamo così concludere che

q(x)=\frac{16}{11}x^2+\frac{19}{11}x

è la miglior approssimazione di g(x)=(x+1)^2 su U=Span(x,x^2) rispetto al prodotto scalare dato.

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Giggio123
  • Pagina:
  • 1
Os