Sviluppo di una funzione con precisione assegnata

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Sviluppo di una funzione con precisione assegnata #93614

avt
Christian1988
Cerchio
In questo esercizio devo calcolare lo sviluppo di una funzione con una certa precisione, e ho diversi dubbi.

Sviluppare la funzione f(x)=\sqrt{1+2x^2-x^3} in x=0 e con una precisione o(x^7).

Devo forse calcolare 7 volte la derivata?

Grazie mille
 
 

Sviluppo di una funzione con precisione assegnata #93624

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito è determinare lo sviluppo associato alla funzione irrazionale

f(x)=\sqrt{1+2x^2-x^3}

centrato nel punto x_0=0 con una precisione di o(x^7).

Detto in altri termini, l'esercizio chiede di determinare lo sviluppo di Taylor associato alla funzione f(x) di ordine n=7 centrato nel punto x_0=0.

A livello teorico potremmo determinare lo sviluppo mediante la definizione stessa, ma ciò richiederebbe il calcolo delle derivate successive, dalla prima alla settima e ciò porterebbe via moltissimo tempo.

Fortunatamente esiste una strada che ci permette di bypassare la definizione, ma richiede un pizzico di memoria: bisogna tenere a mente gli sviluppi di Taylor notevoli, ed in particolare quello associato alla potenza di binomio valido per t_0=0:

\\ (1+t)^{\alpha}= \\ \\=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2+\frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{6}t^3+...+{\alpha\choose n}t^n+o(t^n)

dove per definizione

{\alpha\choose n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdot...\cdot(\alpha-n+1)}{n!}

è il coefficiente binomiale generalizzato (da non confondere con il coefficiente binomiale standard) e n! è il fattoriale di n.

Osserviamo che la funzione fornita dall'esercizio può essere scritta come

f(x)=\sqrt{1+2x^2-x^3}=(1+2x^2-x^3)^{\frac{1}{2}}

grazie alla regola che permette di esprimere le radici come una potenza con esponente fratto.

Ora attenzione, dobbiamo ricondurci allo sviluppo notevole, ed il trucco per farlo consiste nel porre t=2x^2-x^3 così che l'espressione analitica della funzione diventi:

\sqrt{1+t}=(1+t)^{\frac{1}{2}}

Osserviamo inoltre che per x_0=0 si ha che t_0=2x_0^2-x_0^3=0 dunque il centro dello sviluppo associato a (1+t)^{\frac{1}{2}} è t_0=0.

Questo passaggio è necessario per assicurare la liceità dell'applicazione dello sviluppo di Taylor notevole, spesso però viene tralasciato dagli studenti e potrebbe comportare spiacevoli conseguenze.

Puoi approfondire la questione leggendo la lezione su come calcolare lo sviluppo di Taylor di una funzione.

È fatta, ci siamo ricondotti allo sviluppo notevole di (1+t)^{\alpha} dove nel nostro caso \alpha=\frac{1}{2}, possiamo dunque scrivere che

\\ \sqrt{1+t}=(1+t)^{\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ =1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+\frac{t^3}{16}-\frac{5t^4}{128}+\frac{7t^5}{256}-\frac{21 t^6}{1024}+\frac{33t^7}{2048}+o(t^7)

Osserviamo che ci siamo fermati all'ordine sette, e parliamoci chiaramente, compaiono numeri grandi, antiestetici ma che comunque si ottengono abbastanza agevolmente.

Naturalmente dobbiamo ripristinare la variabile x, altrimenti l'esercizio è da considerarsi errato/incompleto.

È sufficiente sostituire ad ogni occorrenza di t l'espressione 2x^2-x^3 e sviluppare tutte le potenze tenendo conto che tutti i termini di grado superiore al settimo devono essere inglobati nell'o - piccolo:

\\ \sqrt{1+2x^2-x^3}=(1+2x^2-x^3)^{\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ =1+\frac{2x^2-x^3}{2}-\frac{(2x^2-x^3)^2}{8}+\frac{(2x^2-x^3)^3}{16}-\frac{5(2x^2-x^3)^4}{128}+

+\frac{7(2x^2-x^3)^5}{256}-\frac{21 (2x^2-x^3)^6}{1024}+\frac{33(2x^2-x^3)^7}{2048}+o(x^7)=(\bullet)


Non facciamoci intimorire ed osserviamo preliminarmente che i termini

-\frac{5(2x^2-x^3)^4}{128}\ , \ \ \frac{7(2x^2-x^3)^5}{256}\ , \ \ -\frac{21 (2x^2-x^3)^6}{1024} \ \ \mbox{ e } \  \ \frac{33(2x^2-x^3)^7}{2048}

finiscono immediatamente nell'o piccolo perché essi hanno certamente grado superiore a 7, pertanto:

\\ (\bullet)=(1+2x^2-x^3)^{\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ =1+\frac{2x^2-x^3}{2}-\frac{(2x^2-x^3)^2}{8}+\frac{(2x^2-x^3)^3}{16}+o(x^7)=(\bullet \bullet)

Sviluppiamo a questo punto il quadrato di binomio e vediamo quali termini si salvano dall'essere inglobati dall'o-piccolo.

\\ (2x^2-x^3)^2=4x^4-4x^5+x^6

Del quadrato si salvano tutti i termini, perché hanno grado inferiore a 7.

Calcoliamo il cubo di binomio tenendo sempre a mente che tutti i termini di grado maggiore di 7 sono da eliminare:

\\ (2x^2-x^3)^3=8x^6-12x^7+6x^8-x^9= \\ \\ =8x^6-12x^7+o(x^7)

Nota come i termini 6x^8, \ -x^9 siano spariti dallo sviluppo.

Non ci resta che sostituire

\\ (\bullet \bullet)= 1+\frac{2x^2-x^3}{2}-\frac{4x^4-4x^5+x^6}{8}+\frac{8x^6-12x^7+o(x^7)}{16}+o(x^7)=

e sommare tra loro i termini simili tenendo a mente che o(x^7)+o(x^7)=o(x^7) per l'algebra degli o - piccolo:

=1+x^2-\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{2}+\frac{3}{8}x^6-\frac{3}{4}x^7+o(x^7)

che è lo sviluppo associato alla funzione f(x)=\sqrt{1+2x-x^3} centrato in x_0=0.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Christian1988

Sviluppo di una funzione con precisione assegnata #93625

avt
Christian1988
Cerchio
Perfetto, grazie mille!
Ringraziano: Ifrit, martinaccatino
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Os