Dominio della derivata prima, derivata sinistra e destra di una funzione a tratti

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Dominio della derivata prima, derivata sinistra e destra di una funzione a tratti #93527

avt
robian
Punto
Ho bisogno di chiarirmi una volta per tutte le idee su come riconoscere il dominio della derivata sinistra e destra di una funzione definita a tratti.

Mi riferisco non al calcolo delle derivate e dei limiti sinistro e destro nei punti di non derivabilità, ma proprio all'interpretazione del grafico per la formalizzazione scritta dei domini.

Io so che dove una funzione non è derivabile, per esclusione dominio o perché funzione non continua, ho dei punti di non derivabilità, che siano uno dei 3 tipi, oppure cuspidi, flessi e punti angolosi.

Già guardando il grafico di una funzione costituita da unione di funzioni elementari, tenendo a mente le limitazioni imposte alla f(x), posso definire il dominio di:

- funzione
- derivata prima
- derivata prima sinistra
- derivata prima destra

Se ho un punto di non derivabilità, lì avrò un'interruzione del dominio della derivata prima, ma per quel che riguarda la distinzione dei domini sinistro e destro come mi devo comportare nella formalizzazione della risposta alla richiesta dei domini in un esercizio?

Mi sarebbe utilissimo se mi potessi usare come esempio i tre domini (completo, sinistro e destro) delle derivate di questa funzione a tratti

f(x)=\begin{cases}\sqrt{|x+5|}&\mbox{ se }x<0 \\ 2x-4&\mbox{ se }0\le x<2 \\ \ln(x-1)&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}
 
 

Re: Dominio della derivata prima, derivata sinstra e destra di una funzione a tratti #93539

avt
Ifrit
Ambasciatore
Lo studio del dominio della derivata di una funzione ha sempre generato più di qualche perplessità negli studenti. Questa difficoltà nasce anche dal fatto che non c'è univocità di definizioni. Alcuni insegnanti intendono come dominio della derivata prima di una funzione f(x) il dominio della funzione f'(x) considerata come funzione a se stante.

Altri professori invece considerano il dominio della derivata prima di una funzione f(x) come l'insieme formato dai numeri reali x per i quali f(x) risulti derivabile (per approfondire - funzioni derivabili).

Dal testo che hai proposto e dalle domande che poni comprendo che il tuo insegnante propone il secondo metodo.

Forniamo a questo punto le definizioni formali così da comprendere cosa dobbiamo fare in seguito.

Sia f:\mbox{dom}(f)\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione reale di variabile reale, definiamo \mbox{dom}(f') come segue:

\mbox{dom}(f')=\{x\in\mbox{dom}(f): f\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ derivabile in }x\}

Da questa definizione segue che:

1. il dominio di f'(x) è sempre contenuto o al più coincide con il dominio di f(x), detto in altri termini il dominio della derivata prima è un sottoinsieme del dominio della funzione di partenza.

2. x_0\in\mbox{dom}(f') se e solo se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale centrato in x_0 ossia:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\mbox{ esiste finito}

3. se f(x) non è derivabile in x_0\in\mbox{dom}(f) allora x_0\notin\mbox{dom}(f').

Detto questo, sappiamo che ci sono funzioni che possono creare problemi che hanno problemi di derivabilità in punti ben definiti che possono non rientrare nel dominio della derivata prima. Nel dettaglio le funzioni problematiche sono:

- la funzione radice: la derivata prima ha problemi di esistenza nei punti in cui il radicando si annulla;

- la funzione valore assoluto: la derivata prima ha problemi di esistenza nei punti in cui l'argomento del valore assoluto si annulla;

- le funzioni definite per casi: la derivata prima ha problemi di esistenza nei punti di raccordo, ossia quei punti in cui la funzione cambia la sua espressione analitica;

- le funzioni arcoseno e arcocoseno: la derivata prima ha problemi di esistenza quando l'argomento di queste funzioni sono uguali a 1 oppure a -1.

Nota bene: questa è la lista di "funzioni famose" che hanno problemi di derivabilità, ce ne sono molte altre ma sono un po' più rare.

Definiamo a questo punto il dominio della derivata prima destra che indicheremo con \mbox{dom}(f_{+}').

Sia f:\mbox{dom}(f)\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione reale di variabile reale. Si definisce dominio della derivata destra di f(x) l'insieme

\mbox{dom}(f_{+}')=\{x\in\mbox{dom}(f): f \ \grave{\mbox{e}} \ \ \mbox{derivabile da destra in }x\}

Per essere più precisi:

x_0\in\mbox{dom}(f_{+}') se e solo se esiste finito il limite destro del rapporto incrementale centrato in x_0, ossia:

\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\mbox{ esiste finito}

Simmetricamente possiamo definire il dominio della derivata prima sinistra, che indicheremo con \mbox{dom}(f_{-}'), come l'insieme

\mbox{dom}(f_{-}')=\{x\in\mbox{dom}(f): f\ \grave{\mbox{e}} \ \ \mbox{derivabile da sinistra in }x\}

e dunque x_0\in\mbox{dom}(f_{-}') se e solo se esiste finito il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in x_0, ossia:

\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\mbox{ esiste finito}

Osserviamo che il dominio della derivata prima è contenuto nell'intersezione del dominio della derivata prima sinistra e quello della derivata prima destra

\mbox{dom}(f')\subset\mbox{dom}(f_{-}')\cap\mbox{dom}(f_{+}')

Teniamo a mente che una funzione è derivabile in un punto se e solo se il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale esistono finiti e coincidono.

Oltre a queste informazioni, è necessario tenere in considerazione anche un teorema importante. Se x_0\in\mbox{dom}(f) è un punto di discontinuità allora certamente x_0\notin\mbox{dom}(f') giacché la continuità è condizione necessaria per la derivabilità.

A questo punto penso di aver fornito le informazioni necessarie per determinare il dominio della derivata prima. Possiamo occuparci dell'esercizio.

Consideriamo la funzione definita per casi:

f(x)=\begin{cases}\sqrt{|x+5|}&\mbox{ se }x<0 \\ 2x-4&\mbox{ se }0\le x<2 \\ \ln(x-1)&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}

e cominciamo con l'analisi partendo con il primo ramo.

Se x<0 l'espressione analitica di f(x) è:

f(x)=\sqrt{|x+5|}=\begin{cases}\sqrt{x+5}&\mbox{ se }-5\le x<0\\ \sqrt{-x-5}&\mbox{ se }x<-5\end{cases}

Osserviamo che il primo ramo è certamente derivabile per x<-5 perché composizione di funzioni derivabili, così come è derivabile in -5<x<0.

L'unico punto problematico è x=-5 e può essere analizzato mediante la definizione di derivata. Poiché la funzione è definita per rami dobbiamo necessariamente procedere con il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale stando attenti nella scelta dell'espressione analitica.

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(-5+h)-f(-5)}{h}= \\ \\ = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}=+\infty

mentre

\\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(-5+h)-f(-5)}{h}= \\ \\ = \lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}}{h}=-\infty

Dallo studio di questi due limiti scopriamo che:

x=-5 è un punto di non derivabilità per f(x) ed in particolare:

x=-5\notin\mbox{dom}(f')

e allo stesso tempo x=-5\notin\mbox{dom}(f_{+}') e -5\notin\mbox{dom}(f_{-}') questo perché il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale esistono ma non sono finiti.

Occupiamoci del secondo ramo.

Se 0<x<2 (nota che ho escluso lo 0) l'espressione analitica della funzione f(x) è:

f(x)=2x-4

che è evidentemente una funzione derivabile in 0<x<2.

Occupiamoci anche del terzo ramo.

Se x>2 (nota che ho escluso 2) l'espressione della funzione è:

f(x)=\ln(x-1)

che è una funzione derivabile perché composizione di funzioni derivabili.

Gli unici punti che non abbiamo ancora analizzato sono i punti di raccordo, ossia x=0 e x=2. Lo facciamo subito.

Analizziamo dal punto di vista della derivabilità x=0. Osserviamo che f(x) non è una funzione continua in 0, infatti il limite destro e il limite sinistro non coincidono con il valore che la funzione assume in 0, pertanto f(x) non è nemmeno derivabile in 0 e dunque 0\notin\mbox{dom}(f').

Dobbiamo controllare se questo punto appartiene al dominio della derivata destra o sinistra.

Essendo esso un punto di raccordo, dovremo impostare il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale.

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \\= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{2\cdot (0+h)-4+4}{h}=\\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{2h}{h}=2

Osservazione: quando h\to 0^{+} si ha che 0+h>0 quindi rientriamo nel territorio in cui f(x)=2x-4

Il limite destro del rapporto incrementale esiste finito dunque 0\in\mbox{dom}(f_{+}').

Calcoliamo il limite sinistro

\\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{|h+5|}+4}{h}=-\infty

Osserviamo che il limite sinistro del rapporto incrementale non è finito dunque il punto 0\notin\mbox{dom}(f_{-}').

Occupiamoci infine dell'ultimo punto di raccordo ossia x=2. Come sempre studieremo il limite destro e il limite sinistro:

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \\ \\ = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{\ln(2+h-1)-0}{h}=\\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\ln(1+h)}{h}=1

Osserviamo che l'ultimo limite è il limite notevole del logaritmo!

Poiché il limite destro esiste finito allora 2\in\mbox{dom}(f_{+}').

Controlliamo il limite sinistro:

\\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \\ \\ =\lim_{h\to 0^{-}}\frac{2(2+h)-4}{h}= \\ \\ =\lim_{h\to 0^{-}}\frac{4+2h-4}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{2h}{h}=2

Anche il limite sinistro esiste finito dunque 2\in\mbox{dom}(f_{-}').

Poiché il limite destro e il limite sinistro non coincidono allora x=2 è un punto di non derivabilità per f(x) ed in particolare è un punto angoloso.

Ora possiamo tirare le somme:

\\ \mbox{dom}(f')=(-\infty, -5)\cup (-5, 0)\cup (0, 2)\cup(2,+\infty) \\ \\ \mbox{dom}(f_{-}')=(-\infty, -5)\cup (-5, 0)\cup (0, +\infty) \\ \\ \mbox{dom}(f_{+}')=(-\infty, -5)\cup (-5, +\infty)

Fatto!
Ringraziano: CarFaby, robian

Re: Dominio della derivata prima, derivata sinstra e destra di una funzione a tratti #93542

avt
robian
Punto
Grazie, come sempre chiarissimo.

Deduco dalla tua risposta che l'approccio grafico che avevo non basta a dedurre dal grafico la formalizzazione dei domini di f'_- e f'_+.

Non digerendo facilmente il rapporto incrementale, io facevo limite sinistro e destro delle f' nei punti di non derivabilità, ma a quanto capisco non è lecito, bisogna obbligatoriamente passare attraverso il rapporto incrementale.

Il limite sinistro in x=0 della f' esiste infatti finito e non ha niente a che vedere con il limite del rapporto incrementale che invece non è finito e mi esclude 0 dalla f'_-.

Dico bene?

Non capisco però il numeratore del limite sinistro del rapporto incrementale in x=0, quel 4 da dove esce? Riesco a immaginare un \sqrt{5} come f(0). Gli altri li capisco ma questo purtroppo no.

Quindi anche se si disegna facilmente un grafico di funzioni elementari a tratti, la sua semplice osservazione alla base delle limitazioni di dominio non basta affatto per poter formalizzare gli intervalli, bisogna assolutamente studiare i rapporti incrementali (e non le f').

È esatto?

Aggiungo una riflessione successiva ad una mia rivalutazione serale dei vari esercizi alla luce della tua risposta e di cui ti chiedo una valutazione.

Non so quanto sia matematico il mio ragionamento, ma ho osservato che in tutti gli esercizi risolti che ho a disposizione, compreso quello risolto da te, si formalizzano con esattezza gli intervalli di definizione guardando il grafico e tenendo in considerazione questi punti

1. Si parte dall'estremo sinistro includendolo o meno (parentesi quadra o tonda) a seconda che sia incluso nel dominio di f(x), oppure sia escluso o all'infinito.

2. Qualunque punto angoloso interrompe l'intervallo di definizione di f'(x) ma non quello della f'_- o f'_+.

3. Le cuspidi interrompono sia l'intervallo di f' che di f'_- o f'_+.

4. Le discontinuità di primo tipo (salto) interrompono l'intervallo di f', ma interrompono solo la derivata sinistra o destra corrispondente al "buco" nel dominio di f (dove è > o < stretto).

5. Si finisce all'estremo destro con le stesse considerazioni del punto 1.

Non ho esempi sotto mano che contemplino anche discontinuità di 2° tipo (asintoti), ma deduco che in quei punti si interrompa come dove ci sono cuspidi.

Spero di essere stato chiaro scrivendo quello che ho osservato, ma la tua risposta mi ha fatto ragionare e permesso di trovare un modo rapido di definire il dominio della derivata senza calcolare i limiti ma solo osservando i grafici delle funzioni elementari.

Può funzionare se ad un esame non sono richiesti i calcoli dei limiti ed il tempo scarseggia?

Re: Dominio della derivata prima, derivata sinstra e destra di una funzione a tratti #93555

avt
Omega
Amministratore
Intervengo io perché Ifrit al momento non è disponibile. emt

Deduco dalla tua risposta che l'approccio grafico che avevo non basta a dedurre dal grafico la formalizzazione dei domini di f'_- e f'_+.

In generale non è sufficiente, e nei casi in cui lo fosse sarebbe necessario un'ottimo livello di esperienza per riuscirci.

Non digerendo facilmente il rapporto incrementale, io facevo limite sinistro e destro di f' nei punti di non derivabilità, ma a quanto capisco non è lecito, bisogna obbligatoriamente passare attraverso il rapporto incrementale.

Se posso darti un suggerimento spassionato, impara a digerirlo. Come menzionato nella nostra lezione sulla definizione di funzione derivabile, lo studio della derivabilità con il metodo della derivata prima non funziona in generale (funziona se e solo se sussistono le ipotesi del teorema di Darboux).

In generale devi procedere con la definizione di derivabilità, studiando i limiti del rapporto incrementale.

Le scorciatoie qui creano solamente problemi. emt

Il limite sinistro in 0 di f' esiste infatti finito e non ha niente a che vedere con il limite del rapporto incrementale che invece non è finito e mi esclude 0 dalla f'_-.

Tutto ciò è irrilevante perché non sussistono le ipotesi del teorema di Darboux.

Non capisco però il numeratore del limite sinistro del rapporto incrementale in x=0, quel 4 da dove esce? Riesco a immaginare un \sqrt{5} come f(0). Gli altri li capisco ma questo purtroppo no.

Ti riferisci a questo?

\\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \\ \\= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{|h+5|}+4}{h}=-\infty

f(0) è semplicemente la valutazione della funzione f nel punto x=0.

f(x)=\begin{cases}\sqrt{|x+5|}&\mbox{ se }x<0 \\ 2x-4&\mbox{ se }0\le x<2 \\ \ln(x-1)&\mbox{ se }x\ge 2\end{cases}

Controlla il ramo cui compete x=0 e otterrai la semplice risposta al tuo dubbio.

[quote]Quindi anche se si disegna facilmente un grafico di funzioni elementari a tratti, la sua semplice osservazione alla base delle limitazioni di dominio non basta affatto per poter formalizzare gli intervalli, bisogna assolutamente studiare i rapporti incrementali (e non le f').[quote]
Esatto.

Non so quanto sia matematico il mio ragionamento, ma ho osservato che in tutti gli esercizi risolti che ho a disposizione, compreso quello risolto da te, si formalizzano con esattezza gli intervalli di definizione guardando il grafico e tenendo in considerazione questi punti

Abbandona questo approccio che nel nostro caso è privo di significato.

In primo luogo perché richiede di disporre del grafico, e qui noi non ne disponiamo.

In secondo luogo perché nel 99% dei casi avrai solamente l'espressione analitica della funzione, ed è su quella che devi lavorare.

Come ho detto in precedenza, in quel 1% dei casi è richiesta una dose di esperienza di cui gli universitari tipicamente non dispongono.

Per questo motivo ti invito ad abbandonare le ulteriori considerazioni che hai proposto. Se il tempo dovesse scarseggiare in sede d'esame... Sii preparato ad effettuare i calcoli più velocemente. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, robian

Re: Dominio della derivata prima, derivata sinstra e destra di una funzione a tratti #93563

avt
robian
Punto
Perfetto, siete stati ambedue chiarissimi!

Sono d'accordo sul fatto che le scorciatoie, per quanto generalmente affascinanti per la mente umana, sono spessissimo foriere di inciampi vari...

... Cercherò quindi di velocizzare i miei calcoli.

Grazie mille Ifrit e Omega, alla prossima! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os