Studio di una applicazione lineare sui polinomi a coefficienti complessi

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Studio di una applicazione lineare sui polinomi a coefficienti complessi #93524

avt
as2296
Punto
Ho molti dubbi su un esercizio riguardante una applicazione lineare sullo spazio vettoriale di polinomi a coefficienti complessi di grado non superiore a 3, soprattutto nel trovare la matrice associata all'applicazione lineare.

Sia V = P_3(C) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3, a coefficienti complessi. Sia poi φ:V → V la funzione che porta ogni polinomio P nel polinomio che, in ogni t, assume il valore P(t+1).

(φ(P))(t): = P(1+t)

È una trasformazione lineare o affine?

Calcolare φ(0).

Calcolare la matrice che rappresenta φ rispetto alla base ordinata (1,t,t^(2),t^(3)) di V.

Calcolare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica.

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Studio di una applicazione lineare sui polinomi a coefficienti complessi #93538

avt
Omega
Amministratore
Prima di fare qualsiasi cosa cerchiamo di capire come si comporta nella pratica l'applicazione φ: C_3[t] → C_3[t].

Consideriamo un generico polinomio P∈C_3[t] (e osserva che sto usando una differente notazione per indicare lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 con coefficienti complessi, che a mio avviso è più chiara perché specifica l'indeterminata t).

P(t) = at^3+bt^2+ct+d

Se consideriamo come base ordinata 1,t,t^2,t^3, possiamo esprimere il precedente polinomio sotto forma di vettore

(d,c,b,a)

Ok, consideriamo l'immagine di tale polinomio mediante φ

(φ(P))(t): = P(t+1)

Per avere l'immagine è sufficiente sostituire in P(t) l'indeterminata t con 1+t

φ(at^3+bt^2+ct+d) = a(1+t)^3+b(1+t)^2+c(1+t)+d =

Sviluppiamo il cubo del binomio e il quadrato del binomio

= a(t^3+3t^2+3t+1)+b(t^2+2t+1)+c(t+1)+d =

Espandendo i prodotti e raccogliendo rispetto a t^3,t^2,t,1, otteniamo l'immagine

= at^3+(3a+b)t^2+(3a+2b+c)t+(a+b+c+d)

In sintesi

φ(at^3+bt^2+ct+d) = at^3+(3a+b)t^2+(3a+2b+c)t+(a+b+c+d) (•)

Per stabilire se l'applicazione φ è un'applicazione lineare su C_3[t] dobbiamo stabilire se, per ogni P,Q e se per ogni α,β∈C, risulta che

φ(α P+β Q) = α φ(P)+β φ(Q)

In questo senso la (•) può tornarci piuttosto utile. Chiamiamo

P(t) = a_Pt^3+b_Pt^2+c_Pt+d_P ; Q(t) = a_Qt^3+b_Qt^2+c_Qt+d_Q

Quindi, se consideriamo α P+β Q, possiamo scriverlo subito nella forma compatta

α P(t)+β Q(t) = (α a_P+β a_Q)t^3+(α b_P+β b_Q)t^2+(α c_P+β c_Q)t+(α d_P+β d_Q)

Se consideriamo l'immagine di α P+β Q mediante φ, il controllo si riduce a puro smanettamento algebrico

φ(α P+β Q) = φ[(α a_P+β a_Q)t^3+(α b_P+β b_Q)t^2+(α c_P+β c_Q)t+(α d_P+β d_Q)] =

I coefficienti sono ben apparecchiati e ci permettono di scrivere subito l'immagine ricorrendo a (•). Ci basta sostituire i coefficienti con i rispettivi omonimi

= (α a_P+β a_Q)t^3+;+(3(α a_P+β a_Q)+(α b_P+β b_Q))t^2+;+(3(α a_P+β a_Q)+2(α b_P+β b_Q)+(α c_P+β c_Q))t+;+((α a_P+β a_Q)+(α b_P+β b_Q)+(α c_P+β c_Q)+(α d_P+β d_Q)) =

Da qui è sufficiente vedere che la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ci consente di scrivere

= α[a_Pt^3+(3a_P+b_P)t^2+(3a_P+2b_P+c_P)t+(a_P+b_P+c_P+d_P)]+;+β[a_Qt^3+(3a_Q+b_Q)t^2+(3a_Q+2b_Q+c_Q)t+(a_Q+b_Q+c_Q+d_Q)] = αφ(P)+βφ(Q)

Riguardo al successivo punto, ossia calcolare φ(0), il tuo docente è proprio una brava persona. emt Qui sta dando possibilità di recupero a chi erroneamente ha concluso che l'applicazione data è affine. Risulta infatti

φ(0) = 0

il che evidentemente non può capitare nel caso di un'applicazione affine (l'origine ne risulterebbe traslata!).

Ora cerchiamo la matrice associata all'applicazione lineare. In questo frangente ti invito a leggere la lezione del precedente link e anche l'approfondimento sulle applicazioni lineari tra spazi di polinomi.

Tenendo conto dell'ordinamento della base (1,t,t^2,t^3), e tenendo conto che in forma vettoriale la • si traduce nella forma

φ:(d,c,b,a) → (a+b+c+d,3a+2b+c,3a+b,a)

cerchiamo una matrice M tale per cui

beginbmatrixm_(11) m_(12) m_(13) m_(14) ; m_(21) m_(22) m_(23) m_(24) ; m_(31) m_(32) m_(33) m_(34) ; m_(41) m_(42) m_(43) m_(44) endbmatrix[d ; c ; b ; a] = [a+b+c+d ; 3a+2b+c ; 3a+b ; a]

Seguendo la logica del prodotto riga per colonna è immediato ricavare

beginbmatrix1 1 1 1 ; 0 1 2 3 ; 0 0 1 3 ; 0 0 0 1 endbmatrix[d ; c ; b ; a] = [a+b+c+d ; 3a+2b+c ; 3a+b ; a]

Per cui la matrice associata all'applicazione lineare è

M = beginbmatrix1 1 1 1 ; 0 1 2 3 ; 0 0 1 3 ; 0 0 0 1 endbmatrix

Per calcolare gli autovalori della matrice dobbiamo determinare gli zeri del polinomio caratteristico

det(M-λ I) = 0

e per farlo ci serve il determinante della matrice M-λ I

det beginbmatrix1-λ 1 1 1 ; 0 1-λ 2 3 ; 0 0 1-λ 3 ; 0 0 0 1-λ endbmatrix

Per effettuare il calcolo ci conviene considerare uno sviluppo di Laplace lungo la colonna 1

det(M-λ I) = Σ_(i = 1)^4(-1)^(i+1)a_(i1)det((M-λ I)_(i1)) =

La scelta non è casuale: la presenza degli zeri semplifica di molto il calcolo

= (-1)^(1+1)(1-λ)det((M-λ I)_(11)) =

Il complemento algebrico det((M-λ I)_(11)) è immediato da calcolare, possiamo ricorrere alla regola di Sarrus

= (1-λ)det beginbmatrix1-λ 2 3 ; 0 1-λ 3 ; 0 0 1-λ endbmatrix = (1-λ)·(1-λ)^3 = (1-λ)^4

Da qui si deduce che vi è un solo autovalore, λ = 1, con molteplicità algebrica ma(1) = 4.

La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore λ = 1, ossia lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

(M-1I) underlinev = underline0

ossia

beginbmatrix0 1 1 1 ; 0 0 2 3 ; 0 0 0 3 ; 0 0 0 0 endbmatrix[x ; y ; z ; s] = [0 ; 0 ; 0 ; 0]

In forma esplicita

y+z+s = 0 ; 2z+3s = 0 ; 3s = 0 ; 0 = 0

L'autospazio associato a λ = 1 è lo spazio delle soluzioni: per la sua dimensione ci basta saper ricavare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo.

Ponendo x = γ∈C come parametro libero

x = γ∈C ; y = 0 ; z = 0 ; s = 0

riusciamo a esprimere lo spazio delle soluzioni nella forma

[γ ; 0 ; 0 ; 0] : γ∈C

e dunque una base di tale spazio è data ad esempio da

[1 ; 0 ; 0 ; 0]

Concludiamo che la dimensione dell'autospazio è 1 e dunque λ = 1 ha molteplicità geometrica 1.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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