Studiare un integrale improprio parametrico di prima e seconda specie

Chiedo aiuto per studiare un integrale improprio parametrico che deve essere diviso in un integrale di prima specie e di seconda specie.

L'integrale



è a tutti gli effetti un integrale improprio parametrico misto in cui l'integranda



è una funzione dipendente dal parametro reale , definita sull'intervallo illimitato .

Il nostro compito è quello di stabilire per quali valori del parametro reale l'integrale dato converge, ma prima di buttarci a capofitto con i calcoli è opportuno eseguire un'analisi preliminare sull'integranda:

è una funzione continua in perché è composizione di funzioni continue ed è dunque localmente integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in in forza del teorema sull'integrabilità di funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato (per approfondire - classi di funzioni integrabili).

Osserviamo inoltre che l'estremo di integrazione rappresenta un punto singolare per , annulla infatti il fattore presente al denominatore.

Crea problemi anche all'addendo presente al numeratore. Se , infatti, possiamo scrivere il numeratore come



da cui si evince che annulla la potenza .

Oltre al punto singolare, come se non bastasse, l'intervallo di integrazione è illimitato e questo complica (di poco a dire il vero) l'analisi.

Nota positiva è il fatto che l'integranda è positiva nell'intervallo indipendentemente dal valore che assume il parametro . Il perché è presto detto:

- il numeratore è certamente positivo per perché somma di quantità positive;

- il fattore è positivo perché la base è positiva nell'intervallo ;

- il fattore è ancora positivo nell'intervallo di integrazione perché somma di quantità positive.

L'integranda è positiva perché quoziente di quantità positive.

Queste osservazioni preliminari hanno lo scopo di comprendere il tipo di integrale con cui abbiamo a che fare.

Grazie alle proprietà degli integrali possiamo spezzare quello fornito dalla traccia come somma di due integrali ognuno dei quali ha una sola problematica.

Fissiamo un valore , possiamo per esempio prendere (ma vanno bene tutti i valori maggiori di 0) e scriviamo l'integrale di partenza come:



I due integrali al secondo membro sono ancora impropri, ma non sono più "misti", in particolare:



è un integrale improprio di seconda specie mentre



è un integrale improprio di prima specie.

Nota quindi che abbiamo espresso l'integrale come somma di due integrali impropri, uno di prima e uno di seconda specie.

Se e convergono allora convergerà anche l'integrale di partenza. Questa semplice affermazione nasconde la chiave per risolvere l'esercizio.

Studiamo la convergenza dell'integrale al variare del parametro mediante il criterio del confronto asintotico per gli integrali di seconda specie determinando una stima asintotica per l'integranda quando (essendo un punto problematico)

Per sussistono le seguenti stime asintotiche:



Essa deriva dal limite notevole della funzione esponenziale





Questa è tranquilla giacché quando .

La stima asintotica più delicata da trovare è quella associata al numeratore ossia perché dipende da come varia .

Se allora quando , di conseguenza sussiste la stima asintotica



Se allora (essendo una potenza elevata a zero) di conseguenza

(nota l'uguaglianza)

Se allora quando e dunque:



Ora mettiamo assieme le informazioni e scriviamo la stima asintotica per l'integranda valida nell'intorno di e al variare del parametro :



Osserviamo che se il carattere dell'integrale coincide con



che è un integrale improprio notevole di seconda specie e che converge se e solo se conseguentemente se allora converge.

Se allora ha lo stesso carattere dell'integrale



per il quale è facile osservarne la convergenza.

Se allora ha lo stesso carattere dell'integrale



che è un integrale immediato (e banalmente convergente).

In definitiva possiamo asserire che l'integrale



converge se e solo se .

Occupiamoci ora del carattere dell'integrale utilizzando il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di prima specie.

Quando sussistono le seguenti stime asintotiche:



perché quando la base .

Per il termine sussiste invece la seguente stima:



perché e la costante additiva 1 può essere trascurata.

Ancora una volta è il numeratore a darci maggiori problemi perché la sua stima dipende dal valore che assume , in particolare:

- se allora e di conseguenza



- se allora e dunque



- se allora e di conseguenza




In definitiva, per l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica per :



Mediante queste stime asintotiche possiamo analizzare il comportamento dell'integrale , in particolare:

- se ha lo stesso comportamento dell'integrale



che grazie alle proprietà delle potenze si scrive come



Quello ottenuto è un integrale improprio notevole di prima specie che converge se e solo se ossia se ;

- se allora l'integrale ha lo stesso carattere dell'integrale



che è convergente giacché riconducibile ad un integrale improprio notevole di prima specie con esponente maggiore di 1;

- se allora si comporta come



che è un integrale improprio di prima specie notevole convergente.

Possiamo asserire che converge se e solo se .

Ok, è giunto il momento di tirare le somme. L'integrale di partenza converge nel momento in cui i due integrali convergono contemporaneamente ossia quando . Finito.