Sistema misto con equazione e disequazione

Mi fareste vedere come si risolvono i sistemi misti con un'equazione e una disequazione come questo?



Grazie anticipatamente!

Ok, iniziamo con il risolvere il sistema misto



Lo chiamiamo sistema misto perché in esso compaiono una disequazione e una equazione.

In particolare la prima



è una disequazione di secondo grado in cui il coefficiente del termine è zero.

Possiamo risolverla in due modi, il primo dei quali consiste nello scomporre la differenza di quadrati come prodotto tra una somma e una differenza di due monomi: . Grazie alla scomposizione la disequazione si riscrive come



e si risolve studiando il segno di ciascun fattore. Cominciamo con lo studio del segno del fattore :



È una semplice disequazione di primo grado.

Abbiamo scoperto che il fattore è positivo o al più nullo per .

Dedichiamoci ora al segno del secondo fattore:



Anche in questo caso abbiamo una disequazione di primo grado facilmente risolvibile. Scopriamo che il secondo fattore è positivo o nullo nel momento in cui .

Una volta studiati i segni di ciascun fattore possiamo costruire quella che prende il nome di tabella dei segni, in cui riporteremo i segni dei fattori, mentre sull'ultima riga riportiamo il segno del prodotto, che possiamo ottenere mediante la regola dei segni



Dall'ultima riga scopriamo che la disequazione è soddisfatta per .

Puoi approfondire leggendo la lezione sulle disequazioni con la regola dei segni.

Metodo alternativo: possiamo risolvere la disequazione con il metodo risolutivo delle disequazioni di secondo grado (lo trovi nella lezione linkata in precedenza).

Il coefficiente di è positivo (vale 1) dunque possiamo tranquillamente considerare l'equazione associata



Essa è un'equazione di secondo grado pura che possiamo risolvere trasportando il termine noto al secondo membro



Poiché allora l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte:



Attenzione: abbiamo ottenuto le soluzioni dell'equazione associata, non le soluzioni della disequazione da cui siamo partiti.

Per portare a termine il nostro compito dobbiamo affidarci alla tabella presente nella lezione sulle disequazioni di secondo grado (che consiglio vivamente di imparare per bene).

Poiché la disequazione è del tipo e le soluzioni ottenute sono reali e distinte allora le soluzioni della disequazione sono:



che è lo stesso risultato ottenuto con il metodo esposto in precedenza.


Abbiamo risolto la disequazione presente nel sistema misto in due modi diversi, ora bisogna risolvere l'equazione:



Essa è un'equazione di secondo grado non ancora espressa in forma canonica. Portiamo tutti i termini al primo membro, stando attenti ovviamente ai segni,



e sommiamo tra loro gli eventuali termini simili (in questo caso gli unici termini simili sono , anzi per essere precisi sono numeri opposti quindi si cancellano).

Otteniamo quindi l'equazione equivalente



che è più precisamente un caso notevole di equazione di secondo grado detta equazione spuria.

Essa può essere risolta facilmente effettuando un raccoglimento totale di al primo membro



Tieni a mente la legge di annullamento del prodotto: un prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero.

Nell'equazione compaiono due fattori, e , e in base alla legge di annullamento del prodotto:

.

Abbiamo risolto anche l'equazione presente nel sistema che scopriamo essere equivalente al seguente:




Cosa significa risolvere un sistema? Significa determinare tutti e i soli valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente ogni equazione/disequazione che compare in esso.

Osserviamo che è soluzione per l'equazione ma non soddisfa , dunque non può essere soluzione.

Invece soddisfa il sistema perché soddisfa sia la condizione così come soddisfa la condizione ed è dunque l'unica soluzione del sistema.