Integrale triplo con paraboloide

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Integrale triplo con paraboloide #93297

avt
francoinfinito
Punto
Salve ragazzi è da un po' che mi scervello con questo integrale

{\iiint_{T}\frac{1}{2+\sqrt{x^2+y^2}}dxdydz}

dove

T=\left \{ (x,y,z) \in\mathbb{R}^{3}: x\leq 0,y\geq 0,x^{2}+y^{2}\leq z\leq 4\right \}

Il mio problema oltre al fatto di non esser sicuro di come sia fatto il dominio (1/4 di circonferenza di altezza 4) non so come far variare le variabili x,y,z e quelle dopo il cambio in coordinate cilindriche.
 
 

Integrale triplo con paraboloide #93316

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'integrale triplo si risolve effettivamente mediante il metodo di sostituzione e la sostituzione che si presta meglio alla risoluzione è appunto quella delle coordinate cilindriche.

Prima di procedere con il calcolo dell'integrale triplo con integranda una funzione irrazionale fratta:

\iiint_{T}\frac{1}{2+\sqrt{x^2+y^2}}dx dy dz

è opportuno effettuare un'analisi sul dominio di integrazione T

T=\left\{(x,y, z)\in\mathbb{R}^3: x\le 0, y\ge 0, x^2+y^2\le z\le 4\right\}

Per prima cosa osserviamo che le condizioni x\le 0\mbox{ e } y\ge 0 individuano sul piano base x y il secondo quadrante (sottolineiamo che stiamo parlando di piano base).

Il vincolo x^2+y^2\le z\le 4 è invece più interessante da analizzare. Esso è sostanzialmente la parte di spazio limitata:

- dalla superficie di equazione

z=x^2+y^2

che nello spazio individua il luogo geometrico propriamente detto paraboloide ellittico;

- dal piano di equazione z=4, parallelo al piano base.

Approfondiamo un po' la questione cercando di studiare nel modo migliore possibile T. Fissiamo z_0\ge 0 e consideriamo il piano parallelo al piano base di equazione z=z_0. Esso interseca il paraboloide generando una circonferenza di centro (0, 0, z_0) e raggio R=\sqrt{z_0}.

Se vogliamo, possiamo tirare in ballo anche le curve di livello associate al paraboloide z=x^2+y^2. Esse non sono altro ch una famiglia di circonferenze di equazione

x^2+y^2=z_0

Poniamoci a questo punto una domanda: perché utilizziamo proprio le coordinate cilindriche?

La risposta risiede nella simmetria assiale di cui gode il paraboloide z=x^2+y^2, e in generale quando il dominio di integrazione presenta questa caratteristica (e nella funzione integranda compare la somma di quadrati x^2+y^2) con molta probabilità le coordinate cilindriche risolveranno l'esercizio. Non è esattamente una regola generale, a dire il vero, ma funziona assai spesso.

Abbiamo portato a termine la discussione sul dominio di integrazione, non ci resta che scrivere la trasformazione che definisce la sostituzione

F(\rho, \theta, z)=\begin{cases}x=\rho\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\theta) \\ z= z\end{cases}\mbox{ con }\rho\in [0, +\infty), \theta\in [0, 2\pi), z\in\mathbb{R}

e vedere come F trasforma il dominio di integrazione T:

\\ F(T)= \\ \\ \\ =\left\{(\rho, \theta, z): \rho\cos(\theta)\le 0, \rho\sin(\theta)\ge 0, \rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)\le z\le 4\right\}

Cosa è successo? Abbiamo effettuato una semplicissima sostituzione. In T:

- abbiamo sostituito x con \rho\cos(\theta);

- abbiamo sostituito y con \rho\sin(\theta).

]La variabile z rimane sé stessa a differenza di ciò che accade nelle coordinate sferiche.

Sebbene il seno e coseno siano funzioni poco apprezzate, è mediante le loro caratteristiche che riusciremo a calcolare l'integrale triplo.

Grazie al raccoglimento totale di \rho alla relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche) si ha che:

\\ x^2+y^2=\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)= \\ \\ \\ = \rho^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))=\rho^2

pertanto il dominio trasformato mediante F si riscrive come:

F(T)=\left\{(\rho, \theta, z): \rho\cos(\theta)\le 0, \rho\sin(\theta)\ge 0, \rho^2\le z\le 4\right\}

Ancora non abbiamo finito, dobbiamo determinare gli intervalli di variazione delle variabili \rho, \theta, z che scaturiscono dalle condizioni che definiscono F(T).

A tal fine impostiamo il seguente sistema di disequazioni:

\begin{cases}\rho\cos(\theta)\le 0 \\ \rho\sin(\theta)\ge 0 \\ \rho^2\le z\le 4\end{cases}

La prima e la seconda disequazione sono soddisfatte nel caso in cui \rho=0. Se invece \rho> 0 possiamo tranquillamente dividere membro a membro senza dover cambiare il verso delle disequazioni così da ottenere il sistema equivalente:

\begin{cases}\cos(\theta)\le 0 \\ \sin(\theta)\ge 0 \\ \rho^2\le z\le 4\end{cases}

I valori di \theta\in\left[0, 2\pi) che soddisfano le prime due disequazioni appartengono all'intervallo \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]: siamo felici perché quest'ultimo è l'intervallo di variazione di \theta.

Dalla doppia disequazione \rho^2\le z\le 4 segue che

\rho^2\le 4 (deriva dalla proprietà transitiva della relazione d'ordine)

Risolviamo la disequazione di secondo grado e teniamo a mente che \rho è una variabile non negativa:

\rho^2\le 4\implies 0\le \rho\le 2

Perfetto abbiamo ottenuto l'intervallo di variazione di \rho ossia [0, 2].

Ultimo ma non ultimo, dobbiamo dare anche un po' di attenzioni alla variabile z, di cui però sappiamo già che deve essere compresa tra \rho^2\mbox{ e }4.

In conclusione, possiamo vedere il dominio di integrazione trasformato mediante F come:

F(T)=\left\{(\rho, \theta, z): \rho\in[0,2], \theta\in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right], \rho^2\le z\le 4\right\}

D'ora in poi questo sarà il nostro dominio di integrazione.

Vediamo come si trasforma la funzione integranda imponendo le sostituzioni fatte su x, \ y, \mbox{ e } z:

\\ f(x,y,z)=\frac{1}{2+\sqrt{x^2+y^2}}= \\ \\ \\ =\frac{1}{2+\sqrt{\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)}}= \\ \\ \\ = \frac{1}{2+\sqrt{\rho^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))}}= \\ \\ \\ = \frac{1}{2+\sqrt{\rho^2}}=(\bullet)

Rammentiamo che per definizione di valore assoluto si ha che \sqrt{\rho^2}=|\rho| ed essendo \rho non negativa possiamo scrivere che \sqrt{\rho^2}=\rho, e dunque (\bullet) diventa:

(\bullet)=\frac{1}{2+\rho}

Attenzione! Quando eseguiamo una sostituzione negli integrali doppi e tripli dobbiamo necessariamente calcolare il determinante della matrice Jacobiana, detto più propriamente Jacobiano associato alla trasformazione.

A conti fatti, lo Jacobiano associato alle coordinate cilindriche è noto e vale:

|J_{F}|=\rho

pertanto l'integrale si riscrive come:

\\ \iiint_{F(T)}\frac{1}{2+\rho}\cdot\rho d\rho d\theta dz=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}\left(\int_{\rho^2}^{4}\frac{\rho}{2+\rho}dz\right)d\rho\right)d\theta=

Notiamo come l'integrale sia pronto per essere risolto, partendo da quello più interno

\\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}\left(\frac{\rho}{2+\rho}[z]_{z=\rho^2}^{z=4}\right)d\rho\right)d\theta=

Eseguiamo le valutazioni agli estremi e calcoliamone la differenza, in accordo con il teorema fondamentale del calcolo integrale:

 =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}\left(\frac{\rho}{2+\rho}(4-\rho^2)\right)d\rho\right)d\theta=

Osserviamo che 4-\rho^2 è una differenza di quadrati e si può scomporre come (2+\rho)(2-\rho). Tale fattorizzazione ci permette di semplificare notevolmente l'integranda

\\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}\left(\frac{\rho}{2+\rho}(2+\rho)(2-\rho)\right)d\rho\right)d\theta= \\ \\ \\   =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}\rho(2-\rho)d\rho\right)d\theta=\\ \\ \\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(\int_{0}^{2}(2\rho-\rho^2)d\rho\right)d\theta=

Per determinare una primitiva di 2\rho-\rho^2 possiamo fare affidamento alle classiche proprietà degli integrali e alle regole di integrazione per le potenze (per approfondire integrale di una potenza).

\\ =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\rho^2-\frac{\rho^3}{3}\right]_{\rho=0}^{\rho=2}d\theta= \\ \\ \\ = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left(4-\frac{8}{3}\right)d\theta= \\ \\ \\ =\frac{4}{3}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\theta=\frac{4}{3}\cdot \left(\pi-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{2}{3}\pi

Abbiamo terminato l'esercizio. L'integrale di partenza ha come risultato \frac{2}{3}\pi.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: integrale triplo #93323

avt
francoinfinito
Punto
Ti ringrazio sei stato chiarissimo!
Ringraziano: Ifrit
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Os